半環の直積

\(S_1,S_2\) を半環として, \(0_1,0_2\) をそれぞれの零元, \(1_1,1_2\) をそれぞれの単位元とする.
集合としての直積 \[S_1\times S_2=\left\{\ (s_1,s_2)\ |\ s_1\in S_1,\ s_2\in S_2\ \right\}\] 上に二項演算 \(+\) と \(\cdot\) を \((s_1,s_2),\ (s_1^\prime,s_2^\prime)\in S_1\times S_2\) に対して \[
(s_1,s_2)+(s_1^\prime,s_2^\prime)=(s_1+s_1^\prime,s_2+s_2^\prime)\\
(s_1,s_2)\cdot (s_1^\prime,s_2^\prime)=(s_1s_1^\prime,s_2s_2^\prime)
\] で定義すると \(S_1\times S_2\) は半環となる.
この半環を \(S_1,S_2\) の直積(direct product)という.
\(S_1\times S_2\) の零元は \((0_1,0_2)\), 単位元は \((1_1,1_2)\) である.

半環の族 \(\{S_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\) に対して, その直積 \[
\prod_{\lambda\in\Lambda}S_\lambda=\left\{\ (s_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\ |\ s_\lambda\in S_\lambda\ \right\}
\] 上に二項演算 \(+\) と \(\cdot\) を \((s_\lambda)_{\lambda\in\Lambda},\ (s_\lambda^\prime)_{\lambda\in\Lambda}\in\prod_{\lambda\in\Lambda}S_\lambda\) に対して \[
(s_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}+(s_\lambda^\prime)_{\lambda\in\Lambda}=(s_\lambda+s_\lambda^\prime)_{\lambda\in\Lambda}\\
(s_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\cdot (s_\lambda^\prime)_{\lambda\in\Lambda}=(s_\lambda s_\lambda^\prime)_{\lambda\in\Lambda}
\] で定義すると \(\prod_{\lambda\in\Lambda}S_\lambda\) は半環となる.

ただし \(\Lambda=\emptyset\) の場合, 空積 \(\prod_{\lambda\in\Lambda}S_\lambda\) は１元集合となるので零半環 \(\{0\}\) とみなす.

零元は \((0_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\) であり, 単位元は \((1_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\) である.

\(S\) をある半環として, 任意の \(\lambda\in\Lambda\) に対して \(S_\lambda=S\) の場合は \(\prod_{\lambda\in\Lambda}S_\lambda\) を \(S^\Lambda\) と書くこともある.
特に \(|\Lambda|=n\) のとき \(S^\Lambda\) を \(S^n\) と書く.