不等式 ヘルダー平均の性質
\(-\infty\leq p\leq q\leq \infty\) を満たす \(p, q\) に対して \[M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)\leq M_q(x_1,x_2, \ldots,x_n)\] また \(p<q\) のとき, \[M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)=M_q(x_1,x_2, \ldots,x_n)\Longleftrightarrow x_1=x_2=\cdots=x_n\]
2022-02
不等式 不等式 ヘルダー平均
pを0ではない実数とする.
n個の正の実数 \(x_1,x_2, \ldots,x_n\) に対して, 指数 \(p\) のヘルダー平均(Hölder mean)を次の式で定義する:\[M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^p\right)^\frac{1}{p}\]
不等式 相加平均・相乗平均・調和平均の関係
相加平均をA,相乗平均をG,調和平均をHとすると \[H\leq G\leq A\] が成り立つ.a_1=a_2=\cdots=a_nの時のみ等号が成立する.証明はある関数を使うと比較的簡単にできます。
不等式 相加平均・相乗平均・調和平均
平均と言ってもいろいろな種類があります。その中から、相加平均・相乗平均・調和平均について紹介します。
相加平均は算術平均と言ったり、相乗平均は幾何平均と言ったりします。
群 部分群の指数とラグランジュの定理
\(G\) を群, \(H\) をその部分群とする.
\(G/H\) の基数(要素の数), つまり左剰余類の数を \(H\) の \(G\) における指数(index)といい, \((G:H),\ |G:H|,\ [G:H]\) などと表す.
群 群の準同型定理(第一同型定理)
２つの群 \(G,\ G^\prime\) に対して, その間の準同型写像 \(f\ \colon\ G \to G\) は, 自然な同型写像\varphi\ :\ G/\mathrm{Ker}\,f\quad&\longrightarrow&\quad\mathrm{Im}\,f\\
x\mathrm{Ker}\,f\quad&\longmapsto&\quad f(x) を引き起こす. つまり, \(G/\mathrm{Ker}\,f\cong \mathrm{Im}\,f\) である.
群 像と核
２つの群 \(G,\ G^\prime\) と, その間の準同型写像 \(f\ \colon\ G \to G^\prime\) に対して, \(e^\prime\) を \(G^\prime\) の単位元とするとき\[\mathrm{Ker}\ f=\{x\in G\ |\ f(x)=e^\prime\}\\ \mathrm{Im}\ f=\{f(x)\in G^\prime\ |\ x\in G\}\]とおく.\(\mathrm{Ker}\ f\) を \(f\) の核(kernel), \(\mathrm{Im}\ f\) を \(f\) の像(image)という.
群 巡回群
群 Gがある元 aを用いて\(G=\langle a\rangle\)と書けるとき, Gを巡回群(cyclic group)と呼ぶ.
このとき, aをGの生成元といい, Gの位数をaの位数(order)といい \(\mathrm{ord}\ a, \mathrm{ord}(a), |a|\) などで表す.
群 剰余群
Gを群,Nをその正規部分群とする. このとき, 任意のa\in Gに対してaNa^{-1}=Nであるから,aN=Na. つまり, 左剰余類と右剰余類は一致する.するとG/Nに自然に積を定義することが出来る. この群をGのNによる剰余群(residue class group)や商群(qoutient group)という.
群 正規部分群
群 Gの部分群Nが\(\forall x\in G\ \ xNx^{-1}\subset N\)を満たすとき, NをGの正規部分群(normal subgroup)といい \(N\triangleleft G\) や \(G\triangleright N\) と書く.