イデアル
半環 \(S\) の部分集合 \(I\) が
- \(a,b\in I\ \Longrightarrow\ a+b\in I\)
- \(a\in I,\ x\in R\ \Longrightarrow\ xa\in I\)
を満たすとき, \(I\) を \(S\) の左イデアル(left ideal)という. また,
- \(a,b\in I\ \Longrightarrow\ a+b\in I\)
- \(a\in I,\ x\in R\ \Longrightarrow\ ax\in I\)
を満たすとき, \(I\) を \(S\) の右イデアル(right ideal)という.
\(I\) が左イデアルかつ右イデアルであるとき, 両側イデアル(two–sided ideal)という.
\(S\) が可換半環であるとき, 左イデアル, 右イデアル, 両側イデアルの概念は一致し,
単にイデアル(ideal)と呼ばれる.
また非可換の場合も, 左, 右, 両側イデアルを総称してイデアルという事もある.
\(S\) 自身と \(\{0\}\) はイデアルとなる. これらは自明なイデアル(trivial ideal)と呼ばれ,
\(\{0\}\) は零イデアル(zero ideal)と呼ばれる. \(0\) で生成されるので \((0)\) と書かれることもある.
例
自然数半環 \(\mathbf{N}\) の元 \(m\) に対して \[(m)=\{mn\ |\ n\in\mathbf{N}\}\] で定義すると \((m)\) は \(\mathbf{N}\) のイデアルとなります。
例えば, \(m=3\) とすると \[(3)=\{0, 3, 6, 9, \ldots\}\] となっています。
生成されたイデアル
半環 \(S\) の元 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) に対して \[(a_1,a_2,\ldots,a_n)=\{x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n\ |\ x_1,x_2,\ldots,x_n\in S\}\] と定義すると \((a_1,a_2,\ldots,a_n)\) は \(S\) の左イデアルとなる.
この \((a_1,a_2,\ldots,a_n)\) を \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) で生成された \(S\) の左イデアルという.
生成された \(S\) の右イデアルも同様に定義できる.
例
自然数半環 \(\mathbf{N}\) の元 \(a,b\) に対して \[(a,b)=\{am+bn\ |\ n,m\in\mathbf{N}\}\] は \(\mathbf{N}\) のイデアルとなります。
例えば, \(a=3, b=5\) とすると \[(3,5)=\{0, 3, 5, 6, 8, 9, \ldots\}\] となって、\((3,5)\) は \(8\) 以上の自然数を全て含んでいます。
イデアルの和と積
半環 \(S\) の左(右)イデアル \(I,J\) に対して \[I+J=\{a+b\ |\ a\in I, b\in J\}\] と定義すると, \(I+J\) も \(S\) の左(右)イデアルとなる.
また, \(I,J\) が両側イデアルのとき, \[IJ=\{a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\ |\ a_i\in I, b_i\in J, n\in\mathbf{N}\}\] と定義すると, \(IJ\) も \(S\) の両側イデアルとなる.
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