半環
半環
半環 
半環 半環合同と剰余半環
半環における合同関係は２つの演算に関するものです。
この合同関係は演算が同値類に関してwell-definedである（そうなるように定義された）ため商集合に移して考えることが出来ます。
半環 整数の定義
自然数を使って整数を定義します。
整数の演算は自然数の演算を用いて自然に定義されます。
半環 自然数の演算
自然数に帰納的定義を用いて和と積を定義することが出来ます。
半環 自然数の定義と構成
自然数とはどんなものかは直感的に理解できると思いますが、
定義はどんなものかを考えると難しいと思います。
ここでは、有名なペアノの公理を用いて自然数を定義・構成しようと思います。
自然数を定義できると、整数→有理数→実数→複素数→...などのように「数」を広げていくことが出来ます。
半環 商半体
\(S\) を可換な整半環とする. \(T=S\,\backslash\{0\}\) とすると \(T\) は積閉集合である.
この \(T\) による局所化 \(T^{-1}S\) は \(S\) を含む最小の半体となり, \(S\) の商半体(quotient semifield)と呼ばれる.
また, \(\mathrm{Q}(S), \mathrm{Quot}(S)\) のように書いたりする.
半環 半体の定義
空でない集合 \(S\) が半体(semifield)であるとは, \(S\) は半環であり,
\(0\) でない \(a\in S\) に対して, ある \(b\in S\) が存在して \(ab=ba=1\) を満たすことをいう.
言い換えると, \((S\backslash\{0\},\ \cdot\ )\) が群であることをいう.
半環 半環の整性と簡約性
半環 \(S\) が \(0\) 以外に零因子を持たないとき, \(S\) は整(integral)であるという.
\(S\) が左消約的かつ右消約的であるとき, \(S\) は簡約的(cancellative)または消約的であるという.
半環 半環の0-添加
環 \(S\) に対して, \(S\) の零元を \(0_S\) とする.
\(S\) に新たな元 \(0\) を加えた集合 \(S^0=S\cup\{0\}\) を考える.
\(S^0\) 上の演算 \(+,\ \cdot\) を \(a,b\in S\) に対しては \(S\) 上の演算 \(a+b, ab\) で定義し,
\(a\in S^0\) に対しては\[a+0=0+a=a\\a\cdot0=0\cdot a=0\] で新しい元 \(0\) の演算と定義すると \(S^0\) は半環となる.
この \(S^0\) を \(S\) の0-添加という.
半環 半環の直積
\(S_1,S_2\) を半環として, \(0_1,0_2\) をそれぞれの零元, \(1_1,1_2\) をそれぞれの単位元とする.
集合としての直積 \[S_1\times S_2=\left\{\ (s_1,s_2)\ |\ s_1\in S_1,\ s_2\in S_2\ \right\}\] 上に二項演算 \(+\) と \(\cdot\) を \((s_1,s_2),\ (s_1^\prime,s_2^\prime)\in S_1\times S_2\) に対して \[
(s_1,s_2)+(s_1^\prime,s_2^\prime)=(s_1+s_1^\prime,s_2+s_2^\prime)\\
(s_1,s_2)\cdot (s_1^\prime,s_2^\prime)=(s_1s_1^\prime,s_2s_2^\prime)
\] で定義すると \(S_1\times S_2\) は半環となる.
この半環を \(S_1,S_2\) の直積(direct product)という.
\(S_1\times S_2\) の零元は \((0_1,0_2)\), 単位元は \((1_1,1_2)\) である.
半環 半環のイデアル
半環 \(S\) の部分集合 \(I\) が
\(a,b\in I\ \Longrightarrow\ a+b\in I\)
\(a\in I,\ x\in R\ \Longrightarrow\ xa\in I\)
を満たすとき, \(I\) を \(S\) の左イデアル(left ideal)という. また,