行列の演算

行列の演算について紹介します。

半環上の行列の行列に対して定義しますが、イメージを掴むなら実数上の行列を考えれば十分です。

スカラー倍(scalar multiplication)

\(m,n\) を自然数として, \(S\) を半環とする.
\(S\) 上の \(m\times n\) 行列 \(A=(a_{ij})\) とスカラー(scalar) \(k\in S\) に対して \(A\) の \(k\) 倍を

\[kA=\left(
\begin{array}{ccc}
ka_{11} & \ldots & ka_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
ka_{m1} & \ldots & ka_{mn}
\end{array}
\right)=(ka_{ij})\]

で定義する.

例

\[3\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
9 & -5
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & 3 \\
27 & -15
\end{pmatrix},\
-2\begin{pmatrix}
1 \\
0\\
-2\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
-2\\
0\\
4
\end{pmatrix}\]

スカラー倍の性質などについてはこちらから。

行列の和

\(m,n\) を自然数として, \(S\) を半環とする.
\(S\) 上の２つの \(m\times n\) 行列 \(A=(a_{ij}), B=(b_{ij})\) に対して \(A\) と \(B\) の和を, 成分毎の和

\[A+B=\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} + b_{11} & \ldots & a_{1n} + b_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} + b_{m1} & \ldots & a_{mn} + b_{mn}
\end{array}
\right)=(a_{ij}+b_{ij})\]

で定義する.

例

\[\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
9 & 0 & -5
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
3 & 0 & -1\\
-6 & 8 & 4
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
5 & 1 & -1 \\
3 & 8 & -1
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
-\sqrt{2}\\
3\\
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
\sqrt{3} \\
2\\
8\\
-3\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1+\sqrt{3}\\
2\\
8-\sqrt{2}\\
0\\
\end{pmatrix}\]

行列の和の性質などについてはこちらから。

行列の積

\(m,n, l\) を自然数として, \(S\) を半環とする.
\(S\) 上の \(m\times n\) 行列 \(A=(a_{ij})\) と \(n\times l\) 行列 \(B=(b_{ij})\) に対して \(A\) と \(B\) の積を,\[c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\] とするとき

\[AB=\left(
\begin{array}{ccc}
c_{11} & \ldots & c_{1l}\\
\vdots & \ddots & \vdots \\
c_{m1} & \ldots & c_{ml}
\end{array}
\right)=(c_{ij})_{\{1\le i\le m,1\le j\le l\}} \]

で定義する.
\(m\times n\) 行列と \(n\times l\) 行列の積は \(m\times l\) 行列となる.

\[\left(
\begin{array}{cccc}
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
\ldots & b_{1j} & \ldots\\
\ldots & b_{2j} & \ldots\\
\vdots & & \vdots \\
\ldots & b_{nj} & \ldots
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{ccc}
& \vdots & \\
\ldots & c_{ij} & \ldots \\
& \vdots &
\end{array}
\right)
\]

\(n\neq n^\prime\) のとき, \((m,n)\) 行列と \((n^\prime,l)\) 行列の積は定義されない.

例

\[
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
9 & 0 & -5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
-6 & 8 \\
1 & 3
\end{pmatrix}&=&
\begin{pmatrix}
2\cdot 3 + 1\cdot (-6) + 0\cdot 1 & 2\cdot 0 + 1\cdot 8 + 0\cdot 3 \\
9\cdot 3 + 0\cdot (-6) + (-5)\cdot 1 & 9\cdot 0 + 0\cdot 8 + (-5)\cdot 3
\end{pmatrix}\\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 8 \\
22 & -15
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}\\
\begin{pmatrix}
3 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-2\\
1\\
-1
\end{pmatrix}=-5
\]

行列の積の性質などについてはこちらから。

転置行列(transpose, transposed matrix)

半環 \(S\) 上の \(m\times n\) 行列 \[
A=(a_{ij})=
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12}& \ldots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right)
\]に対して \(A\) の転置行列(transposed matrix) \(A^T\) を\[
A=(a_{ji})=
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{21} &\ldots & a_{m1}\\
a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{m2}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1n} & a_{2n} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right)
\] で定義する.
\(A^T\) は \(n\times m\) 行列となる.

\(A\) の転置行列は \(^t\!A\) と書くこともある.

例

\(A=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
9 & 0 & -5
\end{pmatrix}\) のとき \(A^T=\begin{pmatrix}
2 & 9\\
1 & 0\\
0 & -5
\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix}\) のとき \(B^T=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}\) となります。