行列の和について紹介します。
ここでは半環上の行列の行列に対して定義しますが、イメージを掴むなら実数上の行列を考えれば十分です。
和が定義されてれば良いので、より広く定義することも出来ます。
行列の和
\(m,n\) を自然数として, \(S\) を半環とする.
\(S\) 上の２つの \(m\times n\) 行列 \(A=(a_{ij}), B=(b_{ij})\) に対して \(A\) と \(B\) の和を, 成分毎の和
\[A+B=\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} + b_{11} & \ldots & a_{1n} + b_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} + b_{m1} & \ldots & a_{mn} + b_{mn}
\end{array}
\right)=(a_{ij}+b_{ij})\]
で定義する.
例
\[\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
9 & 0 & -5
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
3 & 0 & -1\\
-6 & 8 & 4
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
5 & 1 & -1 \\
3 & 8 & -1
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
-\sqrt{2}\\
3\\
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
\sqrt{3} \\
2\\
8\\
-3\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1+\sqrt{3}\\
2\\
8-\sqrt{2}\\
0\\
\end{pmatrix}\]
和の性質
\(A, B, C\) を半環 \(S\) 上の \(m\times n\) 行列とする.
このとき以下が成り立つ:
- 結合律 : \((A+B)+C=A+(B+C)\)
- 交換律 : \(A+B=B+A\)
証明
証明は行列の成分毎に見ればよい.
\(A, B, C\) の \((i,j)\)-成分をそれぞれ \(a_{ij}, b_{ij}, c_{ij}\) とすると半環 \(S\) が結合的であることから \[(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}=a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})
\]であるが, 左辺は行列 \((A+B)+C\) の \((i,j)\)-成分であり,
右辺は行列 \(A+(B+C)\) の \((i,j)\)-成分であるから行列の結合律が成り立つ.
同様に \(S\) では交換律が成り立つので \[a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}\] より行列の交換律は成立する.
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