代数学
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代数学 
半環 半環合同と剰余半環
半環における合同関係は２つの演算に関するものです。
この合同関係は演算が同値類に関してwell-definedである（そうなるように定義された）ため商集合に移して考えることが出来ます。
環 極大イデアル
可換環 \(R\) のイデアル \(I\) が, \(I\neq S\) かつ,イデアル \(J\) に対して
\[I\subset J\subset R\Longrightarrow J=I\ \ {\rm or}\ \ J=R\]
を満たすとき, \(I\) を \(R\) の極大イデアル(maximal ideal)という.
環 素イデアル
可換環 \(R\) のイデアル \(I\) が, \(I\neq S\) かつ
\[a,b\in R,\ ab\in I\Longrightarrow a\in I\ \ {\rm or}\ \ b\in I\]
を満たすとき, \(I\) を \(R\) の素イデアル(prime ideal)という.
半群 半群の素イデアル
半群にもイデアルという概念がありますが、環のイデアルと同じように素イデアルを考えることがあります。
半群 半群の準同型定理
群の準同型定理(第一同型定理)と同様に半群の準同型でも準同型定理が成立します。
ただし、一般に半群には単位元が存在しないため核(kernel)の定義が異なります。
初等整数論 除法の原理
自然数や整数の基本的な性質である除法の原理を紹介します。 除法の原理 整数 \(a,b\) に対して \(b\neq0\) ならば \ となる整数 \(q,r\) が一意的に存在する. 証明 まず自然数\(a,b\) に対して \(b\ne...
群 グロタンディーク群
半群から、それを”含む”ような群を構成できます。
可換半群 \((S, +)\) に対して半群の直積 \(S\times S\) 上の関係 \(\sim\) を \((m_1,n_1), (m_2,n_2)\) に対して
\(m_1+n_2+s=m_2+n_1+s\) なる \(s\in S\) が存在するとき \((m_1,n_1)\sim(m_2,n_2)\) と定義する.
\(\sim\) は半群合同である.
半群 半群の直積
\(S_1,S_2\) を半群とする.
集合としての直積 \[S_1\times S_2=\left\{\ (s_1,s_2)\ |\ s_1\in S_1,\ s_2\in S_2\ \right\}\] 上に二項演算 \(\cdot\) を \((s_1,s_2),\ (s_1^\prime,s_2^\prime)\in S_1\times S_2\) に対して \[
(s_1,s_2)\cdot (s_1^\prime,s_2^\prime)=(s_1s_1^\prime,s_2s_2^\prime)
\] で定義すると \(S_1\times S_2\) は半群となる.
この半群を \(S_1,S_2\) の直積(direct product)という.
順序 順序環
環の構造と順序を同時に考える順序環を紹介します。
集合論 順序群
群に順序が入っている構造である順序群を紹介します。
付値論などでよく出てきます。