semiring

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半環

半環の直積

\(S_1,S_2\) を半環として, \(0_1,0_2\) をそれぞれの零元, \(1_1,1_2\) をそれぞれの単位元とする. 集合としての直積 \[S_1\times S_2=\left\{\ (s_1,s_2)\ |\ s_1\in S_1,\ s_2\in S_2\ \right\}\] 上に二項演算 \(+\) と \(\cdot\) を \((s_1,s_2),\ (s_1^\prime,s_2^\prime)\in S_1\times S_2\) に対して \[ (s_1,s_2)+(s_1^\prime,s_2^\prime)=(s_1+s_1^\prime,s_2+s_2^\prime)\\ (s_1,s_2)\cdot (s_1^\prime,s_2^\prime)=(s_1s_1^\prime,s_2s_2^\prime) \] で定義すると \(S_1\times S_2\) は半環となる. この半環を \(S_1,S_2\) の直積(direct product)という. \(S_1\times S_2\) の零元は \((0_1,0_2)\), 単位元は \((1_1,1_2)\) である.
半環

半環のイデアル

半環 \(S\) の部分集合 \(I\) が \(a,b\in I\ \Longrightarrow\ a+b\in I\) \(a\in I,\ x\in R\ \Longrightarrow\ xa\in I\) を満たすとき, \(I\) を \(S\) の左イデアル(left ideal)という. また,
半環

部分半環

半環 \(S\) の空ではない部分集合 \(T\) が, \(S\) の二項演算で半環になるとき, \(T\) を \(S\) の部分半環(subsemiring)という. また, \(S\) の零元からなる集合 \(\{0\}\) と \(S\) 自身は \(S\) の部分半環であり, これらを自明な部分半環(trivial subsemiring)と呼ぶ.
半環

半環の局所化

\(S\) を可換半環, \(T\) を \(S\) の積閉集合とする. \((a,s), (b,t) \in S\times T\) に対して, ある \(u\in T\) が存在して \(uat=ubs\) となるとき \((a,s)\sim (b,t)\) と定義すると \(\sim\) は \(S\times T\) 上の同値関係となる.
半環

冪等半環と半順序

冪等半環Sに対して, 二項関係<=をa+b=bのときa<=bで定めると<=は半順序でSは半順序集合となる.
半環

冪等半環

半環が冪等(idempotent)であるとは、すべての元が加法が冪等演算となること、つまりa+a=を満たすことをいう.
半環

半環準同型

2つの半環の間の写像が半環準同型(semiring homomorphism)であるとは、その写像が和と積それぞれについてモノイド準同型であることをいう。特に全単射であるとき半環同型(semiring isomorphism)という。
半環

半環の定義

空でない集合 Sと,その上の二つの二項演算、和と積の組 (S, +, \cdot)が半環(semiring)であるとは「和について可換モノイド」「積についてモノイド」「和と積で分配法則が成り立つ」「0倍すると0になる」条件を満たすことを言います。
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