アダマール積について紹介します。
行列の積とは異なり、行列の和と同じように成分毎の積を取る演算です。
アダマール積を定義するには成分の集合上に積が定義されていれば十分ですが、ここでは半環上の行列の行列に対して定義します。
イメージを掴むなら実数上の行列を考えれば十分です。
アダマール積
\(m,n\) を自然数として, \(S\) を半環とする.
\(S\) 上の２つの \(m\times n\) 行列 \(A=(a_{ij}), B=(b_{ij})\) に対して
\(A\) と \(B\) のアダマール積(Hadamard product) \(A\circ B\) または \(A\odot B\)を, 成分毎の積
\[A\circ B=A\odot B=\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11}b_{11} & \ldots & a_{1n}b_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1}b_{m1} & \ldots & a_{mn}b_{mn}
\end{array}
\right)=(a_{ij}b_{ij})\]
で定義する.
\(m\times n\) 行列のアダマール積も \(m\times n\) 行列である.
例
\[\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
9 & 0 & -5
\end{pmatrix}\circ
\begin{pmatrix}
3 & 0 & -1\\
-6 & 8 & 4
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
6 & 0 & 0 \\
-54 & 0 & -20
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
-\sqrt{2}\\
3\\
\end{pmatrix}\circ
\begin{pmatrix}
\sqrt{3} \\
2\\
8\\
-3\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\sqrt{3}\\
0\\
-8\sqrt{2}\\
-9\\
\end{pmatrix}\]
アダマール積の性質
\(A, B, C\) を半環 \(S\) 上の \(m\times n\) 行列とする.
このとき以下が成り立つ:
- 結合律 : \((A\circ B)\circ C=A\circ (B\circ C)\)
- 分配律 :
- \(A\circ (B+C)=A\circ B+A\circ C\)
- \((A+B)\circ C=A\circ C+B\circ C\)
さらに半環 \(S\) が可換であるなら
- 交換律 : \(A\circ B=B\circ A\)
も成立する.
証明
証明は行列の成分毎に見れば良く, 半環 \(S\) 上で結合律も分配律も成立するので良い.
交換律も同様.
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