群の直積

\(G_1,G_2\) を群として, \(e_1,e_2\) をそれぞれの単位元とする.
集合としての直積 \[G_1\times G_2=\left\{\ (g_1,g_2)\ |\ g_1\in G_1,\ g_2\in G_2\ \right\}\] 上に二項演算 \(\cdot\)を \((g_1,g_2),\ (g_1^\prime,g_2^\prime)\in G_1\times G_2\) に対して \[(g_1,g_2)\cdot (g_1^\prime,g_2^\prime)=(g_1g_1^\prime,g_2g_2^\prime)\] で定義すると \(G_1\times G_2\) は群となる.
この群を \(G_1,G_2\) の直積(direct product)という.
\(G_1\times G_2\) の単位元は \((e_1,e_2)\) であり, \((g_1,g_2)\) の逆元は \((g_1^{-1},g_2^{-1})\) である.

群の族 \(\{G_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\) に対して, その直積 \[
\prod_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda=\left\{\ (g_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\ |\ g_\lambda\in G_\lambda\ \right\}
\] 上に二項演算 \(\cdot\) を \((g_\lambda)_{\lambda\in\Lambda},\ (g_\lambda^\prime)_{\lambda\in\Lambda}\in\prod_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda\) に対して \[
(g_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\cdot (g_\lambda^\prime)_{\lambda\in\Lambda}=(g_\lambda g_\lambda^\prime)_{\lambda\in\Lambda}
\] で定義すると \(\prod_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda\) は群となる.

ただし \(\Lambda=\emptyset\) の場合, 空積 \(\prod_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda\) は１元集合となるので \(\{e\}\) とみなす.

単位元は \((e_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\) であり, \((g_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\) の逆元は \((g_\lambda^{-1})_{\lambda\in\Lambda}\) である.

\(G\) をある群として, 任意の \(\lambda\in\Lambda\) に対して \(G_\lambda=G\) の場合は \(\prod_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda\) を \(G^\Lambda\) と書くこともある.
特に \(|\Lambda|=n\) のとき \(G^\Lambda\) を \(G^n\) と書く.