整数の定義

ここでは、自然数を使って整数を定義します。

整数の演算は自然数の演算を用いて自然に定義されます。

整数の定義

直積 \(\mathbf{N}\times\mathbf{N}\) 上に関係 \(\sim\) を \[(m,n)\sim(m^\prime,n^\prime)\Longleftrightarrow m+n^\prime=m^\prime+n\] で定義すると \(\sim\) は同値関係となる.
そこで\[\mathbf{Z}=\mathbf{N}\times\mathbf{N}/\sim\] と定義し, \(\mathbf{Z}\) の元を整数(integer)という.

証明

\(\sim\) が同値関係であること.
反射律 : \(m+n=m+n\) なので \((m,n)\sim(m,n)\).
対称律 : \((m,n)\sim(m^\prime,n^\prime)\) のとき \(m+n^\prime=m^\prime+n\) なので \(m^\prime+n=m+n^\prime\) より \((m^\prime,n^\prime)\sim(m,n)\).
推移律 : \((m,n)\sim(m^\prime,n^\prime)\) かつ \((m^\prime,n^\prime)\sim(m^{\prime\prime},n^{\prime\prime})\) のとき
\(m+n^\prime=m^\prime+n\) かつ \(m^\prime+n^{\prime\prime}=m^{\prime\prime}+n^\prime\) であるが
\[\begin{align*}
(m+n^{\prime\prime})+n^\prime&=(m+n^\prime)+n^{\prime\prime}\\
&=(m^\prime+n)+n^{\prime\prime}\\
&=(m^\prime+n^{\prime\prime})+n\\
&=(m^{\prime\prime}+n^\prime)+n\\
&=(m^{\prime\prime}+n)+n^\prime
\end{align*}\]
となり, 加法の簡約律より \(m+n^{\prime\prime}=m^{\prime\prime}+n\) である.
ゆえに \((m,n)\sim(m^{\prime\prime},n^{\prime\prime})\).

同値類の書き方

\(\mathbf{Z}\) の \((m,n)\) を含む同値類を \([m,n]\) を書くことにするとき
\(l\in\mathbf{N}\) を用いて \(m=n+l\) または \(n=m+l\) であるから

\([m,n]=[l,0]\)
\([m,n]=[0,l]\)

のどちらかの形で書ける.
\(m=n\) のときは \(l=0\) なので, どちらの場合も \([m,m]=[0,0]\) となる.

整数の加法と乗法

\(\mathbf{Z}\) の \((m,n)\) を含む同値類を \([m,n]\) を書くことにするとき \(\mathbf{Z}\) における加法と乗法を \[[m_1,n_1]+[m_2,n_2]=[m_1+m_2,n_1+n_2]\\
[m_1,n_1][m_2,n_2]=[m_1m_2+n_1n_2,m_1n_2+n_1m_2]\] で定義する.
これらの演算はwell-definedである.

証明

演算がwell-definedであること
\((m_1,n_1)\sim(m_1^\prime,n_1^\prime),\ (m_2,n_2)\sim(m_2^\prime,n_2^\prime)\) とすると
\(m_1+n_1^\prime=m_1^\prime+n_1,\ m_2+n_2^\prime=m_2^\prime+n_2\) なので
\((m_1+m_2)+(n_1^\prime+n_2^\prime)=(m_1^\prime+m_2^\prime)+(n_1+n_2)\).
また
\[\begin{align*}
&(m_1m_2+n_1n_2)+(m_1^\prime n_2^\prime+n_1^\prime m_2^\prime)+(m_1n_2^\prime+n_1m_2^\prime)\\
=&\ m_1(m_2+n_2^\prime)+n_1(m_2^\prime+n_2)+(m_1^\prime n_2^\prime+n_1^\prime m_2^\prime)\\
=&\ m_1(m_2^\prime+n_2)+n_1(m_2+n_2^\prime)+(m_1^\prime n_2^\prime+n_1^\prime m_2^\prime)\\
=&\ (m_1n_2+n_1m_2)+m_2^\prime(m_1+n_1^\prime)+n_2^\prime(m_1^\prime+n_1)\\
=&\ (m_1n_2+n_1m_2)+m_2^\prime(m_1^\prime+n_1)+n_2^\prime(m_1+n_1^\prime)\\
=&\ (m_1^\prime m_2^\prime+n_1^\prime n_2^\prime)+(m_1n_2+n_1m_2)+(m_1n_2^\prime+n_1m_2^\prime)
\end{align*}\]
なので, 加法の簡約律より
\((m_1m_2+n_1n_2)+(m_1^\prime n_2^\prime+n_1^\prime m_2^\prime)=(m_1^\prime m_2^\prime+n_1^\prime n_2^\prime)+(m_1n_2+n_1m_2)\).

以上より \[[m_1,n_1]+[m_2,n_2]=[m_1^\prime,n_1^\prime]+[m_2^\prime,n_2^\prime]\\
[m_1,n_1][m_2,n_2]=[m_1^\prime,n_1^\prime][m_2^\prime,n_2^\prime]\] となるので, 演算はwell-definedである.

整数環

\((\mathbf{Z},+,\cdot\ )\) は \([0,0]\) を零元, \([1,0]\) を単位元とする可換環である.

証明

自然数の和と積は結合的なので

\[\begin{align*}
\left([m_1,n_1]+[m_2,n_2]\right)+[m_3,n_3]
&=[m_1+m_2,n_1+n_2]+[m_3,n_3]\\
&=[m_1+m_2+m_3,n_1+n_2+n_3]\\
[m_1,n_1]+\left([m_2,n_2]+[m_3,n_3]\right)
&=[m_1,n_1]+[m_2+m_3,n_2+n_3]\\
&=[m_1+m_2+m_3,n_1+n_2+n_3]\\
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\left([m_1,n_1][m_2,n_2]\right)[m_3,n_3]
&=[m_1m_2+n_1n_2,m_1n_2+n_1m_2][m_3,n_3]\\
&=[m_1m_2m_3+n_1n_2m_3+m_1n_2n_3+n_1m_2n_3,\\
&\hspace{25pt} m_1m_2n_3+n_1n_2n_3+m_1n_2m_3+n_1m_2m_3]\\
[m_1,n_1]\left([m_2,n_2][m_3,n_3]\right)
&=[m_1,n_1][m_2m_3+n_2n_3,m_2n_3+n_2m_3]\\
&=[m_1m_2m_3+m_1n_2n_3+n_1m_2n_3+n_1n_2m_3,\\
&\hspace{25pt} m_1m_2n_3+m_1n_2m_3+n_1m_2m_3+n_1n_2n_3]\\
\end{align*}\]

より

\[\left([m_1,n_1]+[m_2,n_2]\right)+[m_3,n_3]=[m_1,n_1]+\left([m_2,n_2]+[m_3,n_3]\right)\\
\left([m_1,n_1][m_2,n_2]\right)[m_3,n_3]=[m_1,n_1]\left([m_2,n_2][m_3,n_3]\right)
\]
となり, 和と積の結合律は成立する.

\([m,n]+[0,0]=[m+0,n+0]=[m,n]=[0+m,0+n]=[0,0]+[m,n]\)
なので \([0,0]\) が加法の単位元.
\([m,n]+[n,m]=[m+n,n+m]=[m+n,m+n]=[0,0]\)
なので \([m,n]\) の逆元は \([n,m]\).
\([m,n]+[m^\prime,n^\prime]=[m+m^\prime,n+n^\prime]=[m^\prime+m,n^\prime+n]=[m^\prime,n^\prime]+[m,n]\)
なので和は可換である.
ゆえに \((\mathbf{Z},+)\) はアーベル群である.

\([m,n][1,1]=[m1,n1]=[m,n]=[1m,1n]=[1,1][m,n]\)
なので \([1,1]\) が乗法の単位元.
\([m,n][m^\prime,n^\prime]=[mm^\prime+nn^\prime,mn^\prime+m^\prime n]=[m^\prime m+n^\prime n,m^\prime n+n^\prime m]=[m^\prime,n^\prime][m,n]\)
なので積は可換である.
ゆえに \((\mathbf{Z},\cdot\ )\) は可換モノイドである.

\([m,n], [m^\prime,n^\prime], [m^{\prime\prime},n^{\prime\prime}]\) に対して
\[\begin{align*}
[m,n]([m^\prime,n^\prime]+[m^{\prime\prime},n^{\prime\prime}])
&=[m,n][m^\prime+m^{\prime\prime},n^\prime+n^{\prime\prime}]\\
&=[mm^\prime+mm^{\prime\prime}+nn^\prime+nn^{\prime\prime},mn^\prime+mn^{\prime\prime}+nm^\prime+nm^{\prime\prime}]\\
[m,n][m^\prime,n^\prime]+[m,n][m^{\prime\prime},n^{\prime\prime}]
&=[mm^\prime+nn^\prime,mn^\prime+nm^\prime]+[mm^{\prime\prime}+nn^{\prime\prime},mn^{\prime\prime}+nm^{\prime\prime}]\\
&=[mm^\prime+nn^\prime+mm^{\prime\prime}+nn^{\prime\prime},mn^\prime+nm^\prime+mn^{\prime\prime}+nm^{\prime\prime}]
\end{align*}\]
なので \[[m,n]([m^\prime,n^\prime]+[m^{\prime\prime},n^{\prime\prime}])=[m,n][m^\prime,n^\prime]+[m,n][m^{\prime\prime},n^{\prime\prime}]\]
となり, 分配則が成立する.

以上より, \((\mathbf{Z},+,\cdot\ )\) は可換環である.

自然数の埋め込み

写像 \(i\ :\ \mathbf{N}\to\mathbf{Z}\ ;\ n\mapsto[n,0]\) は半環準同型である, つまり, \(m,n\in\mathbf{N}\) に対して

\(i(m+n)=i(m)+i(n)\)
\(i(0)=[0,0]\)
\(i(mn)=i(m)i(n)\)
\(i(1)=[1,0]\)

を満たし, かつ単射である.

証明

２・４は明らか

１．
\(i(m+n)=[m+n,0]=[m,0]+[n,0]=i(m)+i(n)\)

３．
\(i(mn)=[mn,0]=[mn+00,m0+n0]=[m,0][n,0]=i(m)i(n)\)

また, \(i(m)=i(n)\) とすると \([m,0]=[n,0]\) より \(m+0=n+0\).
よって \(m=n\) なので \(i\) は単射.

この埋め込みによって \(\mathbf{N}\subset\mathbf{Z}\) とみなせます。
\(l\in\mathbf{N}\) に対して \([l,0]\) を \(l\) と同一視します。
すると \([l,0]\) の加法の逆元は \([0,l]=-[l,0]\) なので \([0,l]\) を \(-l\) と書けます。
よって, 任意の整数は \(l, 0, -l\) のいずれかの形に一意的に書けます。

以上から, ここで定義された整数が”良く知っている整数” \[\mathbf{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ldots\}\] と一致している事が分かります。

また, \(\mathbf{Z}\) は環であるから減算を考える事が出来る.