環に関する理論ではよく使用される局所化について紹介します。
局所化することで「局所的に」性質などを調べることが出来ます。
積閉集合
環 \(R\) の部分集合 \(S\) が
- \(1\in S, 0\notin S\)
- \(s, t\in S\ \Longrightarrow\ st\in S\)
を満たすとき, \(S\) を \(R\) の積閉集合(multiplicatively closed set)または乗法的集合(multiplicative set)という.
局所化
\(R\) を可換環, \(S\) を \(R\) の積閉集合とする.
\((a,s), (b,t) \in R\times S\) に対して, ある \(u\in S\) が存在して \(u(at-bs)=0\) となるとき
\((a,s)\sim (b,t)\) と定義すると \(\sim\) は \(R\times S\) 上の同値関係となる.
\(\sim\) による商集合を \(S^{-1}R\) と書き, \((a,s)\) を含む同値類を \(\displaystyle \frac{a}{s}\) や \(a/s, s^{-1}a\) などと書く.
さらに \(S^{-1}R\) 上に和と積を \[\frac{a}{s}+\frac{b}{t}=\frac{at+bs}{st},\quad \frac{a}{s}\cdot\frac{b}{t}=\frac{ab}{st}\] で定義すると, これらは代表元の取り方に依らずwell-definedであり, \(S^{-1}R\) は可換環となる.
この環 \(S^{-1}R\) を \(R\) の \(S\) による局所化(localization)という.
\(S^{-1}R\) の零元は \(\displaystyle\frac{0}{1}\), 単位元は \(\displaystyle\frac{1}{1}\) であるが, \(0\) や \(1\) と書いても誤解は無い.
証明
同値関係であることと、演算のwell-defined性を示す.
\(\sim\) が同値関係であること
反射律と対称律は明らか.
\((a,s)\sim(b,t),\ (b,t)\sim(c,u)\) のとき, ある \(x, y\in S\) が存在して \(x(at-bs)=0,\ y(bu-ct)=0\).
このとき, \(xyt\in S\) であり, \(xyt(au-cs)=yu\cdot x(at-bs)+xs\cdot y(bu-ct)=0\)
であるから \((a,s)\sim(c,u)\).
ゆえに \(\sim\) は同値関係である.
演算のwell-defined性を示す.
\(\displaystyle\frac{a_1}{s_1}=\frac{a_2}{s_2}, \frac{b_1}{t_1}=\frac{b_2}{t_2}\) のとき,
\((a_1,s_1)\sim(a_2,s_2),\ (b_1,t_1)\sim(b_2,t_2)\) より, ある \(x, y\in S\) が存在して \(x(a_1s_2-a_2s_1)=y(b_1t_2-b_2t_1)=0\).
また, \[
\frac{a_1}{s_1}+\frac{b_1}{t_1}=\frac{a_1t_1+b_1s_1}{s_1t_1},\quad \frac{a_1}{s_1}\frac{b_1}{t_1}=\frac{a_1b_1}{s_1t_1}\\
\frac{a_2}{s_2}+\frac{b_2}{t_2}=\frac{a_2t_2+b_2s_2}{s_2t_2},\quad \frac{a_2}{s_2}\frac{b_2}{t_2}=\frac{a_2b_2}{s_2t_2}
\] であるが \[\begin{eqnarray*}
&&xy\{(a_1t_1+b_1s_1)(s_2t_2)-(a_2t_2+b_2s_2)(s_1t_1)\}\\
&=\ &yt_1t_2\cdot x(a_1s_2-a_2s_1)+xs_1s_2\cdot y(b_1t_2-b_2t_1)\\
&=\ &0\\
&&xy\{(a_1b_1)(s_2t_2)-(a_2b_2)(s_1t_1)\}\\
&=\ &yt_2b_1\cdot x(a_1s_2-a_2s_1)+xs_1a_2\cdot y(b_1t_2-b_2t_1)\\
&=\ &0\\
\end{eqnarray*}\] であり, \(xy\in S\) なので \[(a_1t_1+b_1s_1,s_1t_1)\sim(a_2t_2+b_2s_2,s_2t_2),\quad (a_1b_1,s_1t_1)\sim(a_2b_2,s_2t_2)\]
ゆえに \[\frac{a_1t_1+b_1s_1}{s_1t_1}=\frac{a_2t_2+b_2s_2}{s_2t_2},\quad \frac{a_1b_1}{s_1t_1}=\frac{a_2b_2}{s_2t_2}\]
局所化の基本事項
\(R\) 可換環, \(S\) を \(R\) の積閉集合とする.
- 写像 \(i : R\rightarrow S^{-1}R\ ;\ a\mapsto a/1\) は準同型写像である.
- \(S\) が零因子を含まなければ \(i\) は単射準同型写像である.
証明
１. \(a,b\in R\) に対して \[
i(a+b)=\frac{a+b}{1}=\frac{a}{1}+\frac{b}{1}=i(a)+i(b),\
i(ab)=\frac{ab}{1}=\frac{a}{1}\frac{b}{1}=i(a)i(b)
\] であり, \(i(1)=1/1=1\) なので \(i\) は準同型写像である.
２. \(a\in R\) に対して \(i(a)=0\) のとき, \(a/1=0/1\) なので \(sa=0\) となる \(s\in S\) が存在する.
\(S\) は零因子を含まないので \(a=0\) となり, \(i\) が単射であることが分かる.
2. によって, \(S\) が零因子を含まなければ \(R\) を \(S^{-1}R\) の部分環とみなすことが出来ます。このようなとき、誤解が生じなければ単に \(R\subset S^{-1}R\) として考えます。
例
整数環 \(\mathbf{Z}\) と正の整数 \(m\) に対して, \(S=\{1, m, m^2, m^3, \ldots \}\) と置くと \(S\) は \(\mathbf{Z}\) の積閉集合です。
\(S^{-1}\mathbf{Z}\) は \(a/m^n\ (a\in \mathbf{Z})\) の形をした元全体の集合です。
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