半群
半群
半群 
半群 半群の素イデアル
半群にもイデアルという概念がありますが、環のイデアルと同じように素イデアルを考えることがあります。
半群 半群の準同型定理
群の準同型定理(第一同型定理)と同様に半群の準同型でも準同型定理が成立します。
ただし、一般に半群には単位元が存在しないため核(kernel)の定義が異なります。
群 グロタンディーク群
半群から、それを”含む”ような群を構成できます。
可換半群 \((S, +)\) に対して半群の直積 \(S\times S\) 上の関係 \(\sim\) を \((m_1,n_1), (m_2,n_2)\) に対して
\(m_1+n_2+s=m_2+n_1+s\) なる \(s\in S\) が存在するとき \((m_1,n_1)\sim(m_2,n_2)\) と定義する.
\(\sim\) は半群合同である.
半群 半群の直積
\(S_1,S_2\) を半群とする.
集合としての直積 \[S_1\times S_2=\left\{\ (s_1,s_2)\ |\ s_1\in S_1,\ s_2\in S_2\ \right\}\] 上に二項演算 \(\cdot\) を \((s_1,s_2),\ (s_1^\prime,s_2^\prime)\in S_1\times S_2\) に対して \[
(s_1,s_2)\cdot (s_1^\prime,s_2^\prime)=(s_1s_1^\prime,s_2s_2^\prime)
\] で定義すると \(S_1\times S_2\) は半群となる.
この半群を \(S_1,S_2\) の直積(direct product)という.
半環 整数の定義
自然数を使って整数を定義します。
整数の演算は自然数の演算を用いて自然に定義されます。
半環 自然数の定義と構成
自然数とはどんなものかは直感的に理解できると思いますが、
定義はどんなものかを考えると難しいと思います。
ここでは、有名なペアノの公理を用いて自然数を定義・構成しようと思います。
自然数を定義できると、整数→有理数→実数→複素数→...などのように「数」を広げていくことが出来ます。
順序 順序付き半群/順序半群(ordered semigroup)
半群 Sとその上の半順序の組が順序付き半群または順序半群(ordered semigroup)であるとは,半順序が半群の演算と両立的(compatible)であることをいう.特に全順序であるときは全順序付き半群または全順序半群(totally ordered semigroup)という.
半群 全変換半群
集合 \(X\) 上の変換全体の集合を \(T_X\) や \(\mathcal{T}_X\) とかく. \(T_X\) は写像の合成を演算として半群をなす. これを集合 \(X\) 上の全変換半群という. さらに恒等写像 \({\rm id}_X\) を単位元とするモノイドでもあるので, 全変換モノイド((full) transformation monoid)ともいう.
数学 1-添加と0-添加
半群に単位元や零元を付け加えることが出来ます。このことは任意の半群がモノイドや零元付き半群に埋め込み可能であることを意味しています。
数学 特殊な半群
半群の中には、ある性質を持つため、名前がついているものがあります。そのうちのいくつかを紹介します。