半環 半環合同と剰余半環
半環における合同関係は２つの演算に関するものです。
この合同関係は演算が同値類に関してwell-definedである（そうなるように定義された）ため商集合に移して考えることが出来ます。
同値関係
半環 半環 整数の定義
自然数を使って整数を定義します。
整数の演算は自然数の演算を用いて自然に定義されます。
環 剰余環
環 \(R\) とその両側イデアル \(I\) に対して, \(R\) 上の関係 \(\sim_I\) を \[a\sim_I b \Longleftrightarrow a-b\in I\] で定義すると \(\sim_I\) は同値関係となる. 同値類の集合 \(R/\sim_I\) を \(R/I\) と書く.
集合論 商集合
集合を同値関係を用いて分割することが出来ます。数学を学んでいく上での必須事項です。
集合論 同値類
集合上の同値関係を用いて集合を分割することが出来ます。ある性質を持つ元をまとめて考える事で、対象が調べやすくなります。
集合論 Well-defined
集合 \(X\) 上の同値関係 \(\sim\) と, 集合 \(Y\) への写像 \(f\ \colon\ X \to Y\) があるときに,
\(f\) の性質を受け継いだ, 商集合 \(X/{\sim}\) から \(Y\) への写像 \(\tilde{f}\ \colon\ X/{\sim} \to Y\) を考えると良いことがある場合があります。この写像を定義できるかを判定する基準としてwell-definedという概念があります。日本語的には「矛盾なく定義される」とか言います。
数学 合同関係
代数的構造を理解する方法として、商集合を考える事が良くあります。この商集合も元の代数的構造と同じように演算を考えるのが自然ですが、商集合上の演算、つまり同値類の演算を元の演算から矛盾なく定義するため(well-defined)に必要となるのが合同関係です。
集合論 同値関係
二項関係の中でも重要な概念である同値関係について紹介します。集合に対して、ある性質を持ったものをまとめて考える際によく用います。同値関係(equivalence relation)であるとは反射律、対称律、推移律を満たすことをいう。