モノイド
モノイド
モノイド 
半群 半群の素イデアル
半群にもイデアルという概念がありますが、環のイデアルと同じように素イデアルを考えることがあります。
群 グロタンディーク群
半群から、それを”含む”ような群を構成できます。
可換半群 \((S, +)\) に対して半群の直積 \(S\times S\) 上の関係 \(\sim\) を \((m_1,n_1), (m_2,n_2)\) に対して
\(m_1+n_2+s=m_2+n_1+s\) なる \(s\in S\) が存在するとき \((m_1,n_1)\sim(m_2,n_2)\) と定義する.
\(\sim\) は半群合同である.
半環 整数の定義
自然数を使って整数を定義します。
整数の演算は自然数の演算を用いて自然に定義されます。
半環 自然数の演算
自然数に帰納的定義を用いて和と積を定義することが出来ます。
半環 自然数の定義と構成
自然数とはどんなものかは直感的に理解できると思いますが、
定義はどんなものかを考えると難しいと思います。
ここでは、有名なペアノの公理を用いて自然数を定義・構成しようと思います。
自然数を定義できると、整数→有理数→実数→複素数→...などのように「数」を広げていくことが出来ます。
数学 モノイド準同型
２つのモノイド間の写像がモノイド準同型であるとは「積を保つ」「単位元を単位元に移す」という条件を満たすものをいう.
半群 全変換半群
集合 \(X\) 上の変換全体の集合を \(T_X\) や \(\mathcal{T}_X\) とかく. \(T_X\) は写像の合成を演算として半群をなす. これを集合 \(X\) 上の全変換半群という. さらに恒等写像 \({\rm id}_X\) を単位元とするモノイドでもあるので, 全変換モノイド((full) transformation monoid)ともいう.
数学 1-添加と0-添加
半群に単位元や零元を付け加えることが出来ます。このことは任意の半群がモノイドや零元付き半群に埋め込み可能であることを意味しています。
数学 特殊な半群
半群の中には、ある性質を持つため、名前がついているものがあります。そのうちのいくつかを紹介します。
数学 半群・モノイドの定義
半群とモノイドは、群や環・体などに比べると知っている人は少ないと思いますが、様々な分野に、たまに出現する代数的構造です。ここでは、半群とモノイドの定義を紹介します。