ヘルダー平均

\(p=-1, 1\) の時は明らかなので \(p=0, -\infty, \infty\) の場合を示す.

\(p=0\) のとき \[M_0(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\lim_{p\rightarrow 0}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^p\right)^\frac{1}{p}\] であるが \[\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^p\right)^\frac{1}{p}=\exp\left(\ln\left(\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^p\right)^\frac{1}{p}\right)\right)=\exp\left(\frac{\ln(\sum_{i=0}^nx_i^p/n)}{p}\right)\] となり, \(\exp\) の中身にロピタルの定理を使用すると \[\lim_{p\rightarrow 0}\frac{\ln(\sum_{i=0}^nx_i^p/n)}{p}=\lim_{p\rightarrow 0}\frac{\frac{\sum_{i=0}^nx_i^p\ln x_i/n}{\sum_{i=0}^nx_i^p/n}}{1}=\lim_{p\rightarrow 0}\frac{\sum_{i=0}^nx_i^p\ln x_i}{\sum_{i=0}^nx_i^p}=\frac{\sum_{i=0}^n \ln x_i}{n}=\ln\left((x_1x_2\cdots x_n)^\frac{1}{n}\right)\] \(\exp\) は連続関数であるから \[\lim_{p\rightarrow 0}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^p\right)^\frac{1}{p}=\exp\left(\ln\left((x_1x_2\cdots x_n)^\frac{1}{n}\right)\right)=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\] となり, \[M_{0}(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\] が従う.

\(p=\infty\) のとき

\(x_1\geq x_2\geq \cdots\geq x_n\) としても一般性を失わない.

\[\lim_{p\rightarrow \infty}M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\lim_{p\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^p\right)^\frac{1}{p}=x_1\lim_{p\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n\left(\frac{x_i}{x_1}\right)^p\right)^\frac{1}{p}=x_1\] となり \[\max\{x_1,x_2, \ldots,x_n\}=x_1\] なので, \[M_\infty(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\max\{x_1,x_2, \ldots,x_n\}\] が分かる.

\(p=-\infty\) のとき

\(x_1\geq x_2\geq \cdots\geq x_n\) としても一般性を失わない.
今, 正の実数 \(q\) と \(r=-q\) に対して \[M_r(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^r\right)^\frac{1}{r}=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^{-q}\right)^{-\frac{1}{q}}=\frac{1}{M_q(\frac{1}{x_1},\frac{1}{x_2}, \ldots,\frac{1}{x_n})}\] となるので \[\lim_{p\rightarrow -\infty}M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\lim_{p\rightarrow \infty}\frac{1}{M_p(\frac{1}{x_1},\frac{1}{x_2}, \ldots,\frac{1}{x_n})}=\frac{1}{1/x_n}=x_n\] となり \[\min\{x_1,x_2, \ldots,x_n\}=x_n\] なので, \[M_{-\infty}(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\min\{x_1,x_2, \ldots,x_n\}\] が分かる.