不等式 ヘルダー平均の性質
\(-\infty\leq p\leq q\leq \infty\) を満たす \(p, q\) に対して \[M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)\leq M_q(x_1,x_2, \ldots,x_n)\] また \(p<q\) のとき, \[M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)=M_q(x_1,x_2, \ldots,x_n)\Longleftrightarrow x_1=x_2=\cdots=x_n\]
解析学
不等式 不等式 ヘルダー平均
pを0ではない実数とする.
n個の正の実数 \(x_1,x_2, \ldots,x_n\) に対して, 指数 \(p\) のヘルダー平均(Hölder mean)を次の式で定義する:\[M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^p\right)^\frac{1}{p}\]
不等式 相加平均・相乗平均・調和平均の関係
相加平均をA,相乗平均をG,調和平均をHとすると \[H\leq G\leq A\] が成り立つ.a_1=a_2=\cdots=a_nの時のみ等号が成立する.証明はある関数を使うと比較的簡単にできます。
不等式 相加平均・相乗平均・調和平均
平均と言ってもいろいろな種類があります。その中から、相加平均・相乗平均・調和平均について紹介します。
相加平均は算術平均と言ったり、相乗平均は幾何平均と言ったりします。
集合論 よく使う文字や記号の説明
数学系の記事で用いる文字や記号の説明をします。よく使う集合や写像・値などは特定の文字や記号で書かれることが多いです。その方が共通認識で話を進めることができ、便利です。しかし、同じ文字や記号・記法だったとしても、数学書や論文毎に少し違った定義になっていることあるので、定義を確かめておく必要があります。
三角関数 ビエトの公式(Vièteの公式)
ビエトの公式(Vièteの公式)とは無限乗積を用いて円周率を表現した公式である.
三角関数 モリーの法則の一般化
モリーの法則を一般化することが出来る.\[\prod_{i=0}^n \cos(2^i\theta) = \frac{\sin(2^{n+1}\theta)}{2^{n+1}\sin\theta}\]
三角関数 モリーの法則(Morrie’s law)
三角関数に関する公式であるモリーの法則を紹介します。\[\cos\frac{\pi}{9} \cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}=\frac{1}{8}\]
双曲線関数 双曲線関数の定義
双曲線関数は指数関数 \(e^x\)を用いて\[\begin{eqnarray*}\sinh x&=&\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\ \cosh x&=&\frac{e^x+e^{-x}}{2} \\ \tanh x&=& \frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\end{eqnarray*}\]
三角関数 三角関数の定義
三角関数の定義. 定義には様々なものがあるが、ここでは単位円と角度を用いた定義を紹介する.
\mathbf{R}^2\))を考える. 原点\(O(0, 0)\), 点\(A(1, 0)\)として, 点\(X(x, y)\)は単位円 \(x^2+y^2=1\) 上を動くものとする.