2022-02-25

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群の準同型定理(第一同型定理)

2つの群 \(G,\ G^\prime\) に対して, その間の準同型写像 \(f\ \colon\ G \to G\) は, 自然な同型写像\varphi\ :\ G/\mathrm{Ker}\,f\quad&\longrightarrow&\quad\mathrm{Im}\,f\\ x\mathrm{Ker}\,f\quad&\longmapsto&\quad f(x) を引き起こす. つまり, \(G/\mathrm{Ker}\,f\cong \mathrm{Im}\,f\) である.

像と核

2つの群 \(G,\ G^\prime\) と, その間の準同型写像 \(f\ \colon\ G \to G^\prime\) に対して, \(e^\prime\) を \(G^\prime\) の単位元とするとき\[\mathrm{Ker}\ f=\{x\in G\ |\ f(x)=e^\prime\}\\ \mathrm{Im}\ f=\{f(x)\in G^\prime\ |\ x\in G\}\]とおく.\(\mathrm{Ker}\ f\) を \(f\) の核(kernel), \(\mathrm{Im}\ f\) を \(f\) の像(image)という.
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