不等式 ヘルダー平均の性質
\(-\infty\leq p\leq q\leq \infty\) を満たす \(p, q\) に対して \[M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)\leq M_q(x_1,x_2, \ldots,x_n)\] また \(p<q\) のとき, \[M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)=M_q(x_1,x_2, \ldots,x_n)\Longleftrightarrow x_1=x_2=\cdots=x_n\]
不等式
不等式 不等式 ヘルダー平均
pを0ではない実数とする.
n個の正の実数 \(x_1,x_2, \ldots,x_n\) に対して, 指数 \(p\) のヘルダー平均(Hölder mean)を次の式で定義する:\[M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^p\right)^\frac{1}{p}\]
不等式 相加平均・相乗平均・調和平均の関係
相加平均をA,相乗平均をG,調和平均をHとすると \[H\leq G\leq A\] が成り立つ.a_1=a_2=\cdots=a_nの時のみ等号が成立する.証明はある関数を使うと比較的簡単にできます。
不等式 相加平均・相乗平均・調和平均
平均と言ってもいろいろな種類があります。その中から、相加平均・相乗平均・調和平均について紹介します。
相加平均は算術平均と言ったり、相乗平均は幾何平均と言ったりします。