自然数に順序が定義されたように、整数にも順序を定義できます。
自然数の順序を用いて、整数に順序を定義します。
ここで定義する順序は通常の整数の大小関係に一致します。
整数の順序付け
整数環 \(\mathbf{Z}\) の部分集合として \(0\) より大きい自然数の集合 \(\mathbf{N}^+=\{1,2,3,\ldots\}\) を考える.
\(\mathbf{N}^+\) は \(\mathbf{Z}\) の順序付けである.
証明
\(m\in\mathbf{Z}\) ならば, \(l\) を \(0\) より大きい自然数とするとき, \(l,0,-l\) のいずれかに一致するので
\(m\in\mathbf{N}^+\) または \(m=0\) または \(-m\in\mathbf{N}^+\) のうちいずれか１つだけ成り立つ.
また \(a,b\in\mathbf{N}^+\) に対して, 明らかに \(a+b,ab\in\mathbf{N}^+\) であるから
\(\mathbf{N}^+\) が \(\mathbf{Z}\) の順序付けであることがわかる.
整数環の順序
\(\mathbf{Z}\) は順序環である.
証明
順序付けに関する定理より明らか.
この順序が通常の整数の大小 \[\ldots<-3<-2<-1<0<1<2<3<\ldots\] に一致することを見ますが、これは任意の自然数 \(m\) に対して
- \(m<m+1\)
- \(-(m+1)<-m\)
を示せばいい。
\((m+1)-m=1\in\mathbf{N}^+\) より \(m<m+1\) である。
\(-m-(-(m+1))=1\in\mathbf{N}^+\) より \(-(m+1)<-m\) である。
整数の絶対値
整数 \(m\in\mathbf{Z}\) に対して \[|m|=\begin{cases}\ m&(m\geq 0) \\ \ -m&(m<0)\end{cases}\] を \(m\) の絶対値(absolute value)という.
絶対値は写像 \(|\cdot|\ :\ \mathbf{Z}\to\mathbf{N}\) とみなせる.
絶対値の性質
任意の整数 \(m,n\in\mathbf{Z}\) に対して以下が成り立つ;
- \(|m|\geq0\).
- \(-|m|\leq m\leq |m|\).
- \(|m|=0\) ならば \(m=0\).
- \(|-m|=|m|\).
- \(|m+n|\leq|m|+|n|\).
- \(|mn|=|m||n|\).
証明
順序環の絶対値を参照.
コメント