集合論
集合論
集合論 
初等整数論 整数の順序
自然数に順序が定義されたように、整数にも順序を定義できます。
自然数の順序を用いて、整数に順序を定義します。
ここで定義する順序は通常の整数の大小関係に一致します。
集合論 順序環
環の構造と順序を同時に考える順序環を紹介します。
集合論 順序群
群に順序が入っている構造である順序群を紹介します。
付値論などでよく出てきます。
半環 自然数の演算
自然数に帰納的定義を用いて和と積を定義することが出来ます。
集合論 自然数の順序
自然数に加法と乗法を定義しましたが、加法を用いて順序を定義することが出来ます。
自然数 \(m, n\in\mathbf{N}\) 対して, 関係 \(\leq\) をある自然数 \(l\in\mathbf{N}\) が存在して \(n=m+l\) となるとき \[m\leq n\] と定義する.
集合論 帰納的集合
公理的集合論や自然数を定義するときに重要である帰納的集合について紹介します。
集合 \(X\) が帰納的(inductive)であるとは
・\(\emptyset\in X\)
・\(x\in X\) ならば \(x\cup\{x\}\in X\)
が成り立つことをいう.
半環 よく使う文字や記号の説明
数学系の記事で用いる文字や記号の説明をします。よく使う集合や写像・値などは特定の文字や記号で書かれることが多いです。その方が共通認識で話を進めることができ、便利です。しかし、同じ文字や記号・記法だったとしても、数学書や論文毎に少し違った定義になっていることあるので、定義を確かめておく必要があります。
順序 順序付き半群/順序半群(ordered semigroup)
半群 Sとその上の半順序の組が順序付き半群または順序半群(ordered semigroup)であるとは,半順序が半群の演算と両立的(compatible)であることをいう.特に全順序であるときは全順序付き半群または全順序半群(totally ordered semigroup)という.
半環 冪等半環と半順序
冪等半環Sに対して, 二項関係<=をa+b=bのときa<=bで定めると<=は半順序でSは半順序集合となる.
集合論 順序集合
順序は日常生活でも自然に考えている概念です。ここでは順序の数学的な定義を紹介します。 順序は順序関係であり、二項関係の一種です。順序関係の中で代表的なものを紹介します。 前順序(preorder) 集合 \(P\) 上の二項関係 \(\le...