半群と順序を同時に考えやすい構造である順序付き半群を紹介します。
順序付き半群(ordered semigroup)
半群 \(S\) とその上の半順序 \(\leq\) の組が順序付き半群または順序半群(ordered semigroup)であるとは,
半順序 \(\leq\) が半群の演算と両立的(compatible)である, つまり任意の \(a,b,c\in S\) に対して
- \(a\leq b \Longrightarrow ac\leq bc,\ ca\leq cb\)
を満たすことをいう.
特に \(\leq\) が全順序であるとき, 全順序付き半群または全順序半群(totally ordered semigroup)という.
さらに \(S\) がモノイドや群であるとき
順序モノイド(ordered monoid), 全順序モノイド(totally ordered monoid),
順序群(ordered group), 全順序群(totally ordered group) などという.
モノイドで例を考えてみます。
例（全順序モノイド）
自然数全体 \(\mathbf{N}=\left\{0, 1, 2, 3,\ldots\right\}\) で通常の積 \(\cdot\) と順序 \(\leq\) を考えます。
このとき \(\leq\) は積と両立的で全順序なので、\((\mathbf{N},\, \leq)\) は全順序モノイドとなります。
例（順序モノイドでない例）
整数全体 \(\mathbf{Z}=\left\{\ldots, -1, 0, 1,\ldots\right\} \) で通常の積 \(\cdot\) と順序 \(\leq\) を考えます。このとき例えば \(2\leq 5\) ですが、両辺に \(-1\) をかけると \(-2\geq -5\) となり順序が逆になります。両立的ではないので、この順序では順序モノイドではありません。
ちなみに通常の和で考えると \((\mathbf{Z},\,\leq)\) は全順序群となります。
最後に簡単にわかる性質を紹介します
性質
順序付き半群 \((S,\, \leq)\) において以下が成り立つ.
任意の \(a,b,c,d\in S\) に対して \(a\leq b,\ c\leq d\Longrightarrow ac\leq bd,\ ca\leq db\).
compatibleの条件を使えば導けます。
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