写像 | 数学好きのすずめ

数学を学ぶ上で必要不可欠な概念, 写像について紹介します。写像を使って集合と集合を結び付けて、関係性などを調べます。

集合 \(A\) の任意の元 \(a\) 対して, 集合 \(B\) の元 \(f(a)\) が１つ定まっている時, \(f\) を \(A\) から \(B\) への写像という.

\[f\ \colon\ A \rightarrow B\]

で表す. 元 \(a\) の \(f\) による行き先を \(f(a)\) とかく. \(A\) を定義域や始域, \(B\) を終域という.
このとき, \(B\) の部分集合 \(f(A)=\{f(a)\ |\ a\in A\}\) を \(f\) の像や値域という.

\(A=\{\ a, b, c, d\ \},\ B=\{\ 1, 2, 3\ \}\) として, \(f\ \colon\ A \rightarrow B\) が \[f(a)=1,\ f(b)=2,\ f(c)=3,\ f(d)=3\] のように定まっているとき, \(f\) は写像である.

実数の集合を \(\mathbf{R}\) とするとき, \(f\ \colon\ \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}\) を \(x\in\mathbf{R}\) に対して \(f(x)=e^x\) とすると \(f\) は写像である.

例１の \(A, B, f\) に対して, 「\(f(a)=1\) または \(2\)」であったり, 「\(f(b)\) は定義されていない」場合は写像ではなく, より一般的な概念である「対応」に該当する.