半群 全変換半群
集合 \(X\) 上の変換全体の集合を \(T_X\) や \(\mathcal{T}_X\) とかく. \(T_X\) は写像の合成を演算として半群をなす. これを集合 \(X\) 上の全変換半群という. さらに恒等写像 \({\rm id}_X\) を単位元とするモノイドでもあるので, 全変換モノイド((full) transformation monoid)ともいう.
2021-05
半群 
集合論 全単射と逆写像
集合を比べたり、構造を調べたりする際に大活躍する全単射と逆写像を紹介します。
集合論 全射と単射
写像の基本概念として全射と単射があります。これらを利用して、集合の”大きさ”を比べたり、構造を比べたり、様々な用途があります。
集合論 合成写像
2つの写像 \(f\ \colon A \rightarrow B,\ g\ \colon B \rightarrow C \) があるとき, 任意の \(a\in A\) に対して \((g\circ f)(a) = g(f(a))\) と定義すると \(g\circ f\) は\(A\) から \(C\) への写像となる. この \(g\circ f\ \colon A \rightarrow C \) を \(f\) と \(g\) の合成写像という. \(g\circ f\) を単に \(gf\) と書くこともある.
集合論 恒等写像
恒等写像(identity mapping, identity function)
空でない集合 \(S\) に対して, 写像 \({\rm id}_S\ \colon\ S\rightarrow S\) を \[{\rm id}_S(x)=x\] で定義する. \({\rm id}_S\) を \(S\) 上の恒等写像という.
\(I_S, \mathbf{1}_S\) と書くこともある. 混同しない場合は単に \({\rm id}, I, \mathbf{1}\) と書く.
数学 1-添加と0-添加
半群に単位元や零元を付け加えることが出来ます。このことは任意の半群がモノイドや零元付き半群に埋め込み可能であることを意味しています。
数学 特殊な半群
半群の中には、ある性質を持つため、名前がついているものがあります。そのうちのいくつかを紹介します。
数学 ある性質を持つ元【マグマ・半群】
マグマや半群などの代数的構造において、ある性質を持つ元には名前がついています。その中でも代表的なものを紹介します。