半群の基本概念である半群合同と剰余半群を紹介します。定義はマグマ合同・剰余マグマと同様で、マグマを半群に置き換えたものです。
半群合同
半群 \(S\) 上の同値関係 \(\sim\) が半群合同または合同関係であるとは,
任意の \(a, b, c, d\in S\) に対して
\[a\sim b\ ,\ c\sim d\ \Longrightarrow\ ac\sim bd\]
を満たすことをいう.
剰余半群
半群 \(S\) 上の合同関係 \(\sim\) に対して, 商集合 \(S/{\sim}=\{\ \overline{x}\ | \ x\in S\ \}\) 上の演算 \(\cdot\) を
\[\overline{x}\cdot\overline{y}=\overline{xy}\]
で定めると \(\cdot\) はwell-definedであって, \((S/{\sim},\,\cdot\,)\) は半群をなす.
この \((S/{\sim},\,\cdot\,)\) を \(\sim\) による剰余半群という.
証明
\(\cdot\) がwell-definedであること
\(\overline{x}=\overline{x^\prime}, \overline{y}=\overline{y^\prime}\) のとき \(x\sim x^\prime, y\sim y^\prime\) であるから \(\sim\) が合同関係であることより \(xy\sim x^\prime y^\prime\).
\(\overline{x}\cdot\overline{y}=\overline{xy}=\overline{x^\prime y^\prime}=\overline{x^\prime}\cdot\overline{y^\prime}\).
\((S/{\sim},\,\cdot\,)\) が半群であること
\((\overline{x}\cdot\overline{y})\cdot\overline{z}=\overline{xy}\cdot\overline{z}=\overline{xyz}\)
\(\overline{x}\cdot(\overline{y}\cdot\overline{z})=\overline{x}\cdot\overline{yz}=\overline{xyz}\)
より結合律を満たす.
剰余半群への準同型/自然な準同型(商写像・自然な全射・自然な射影)
半群 \(S\) とその上の合同関係 \(\sim\) に対して,写像 \(\pi\ \colon\ S\to S/{\sim}\) を \(\pi(x)=\overline{x}\) で定めると \(\pi\) は \(S\) から \(S/{\sim}\) への全射準同型写像である.
証明はマグマのものと同様.
コメント