半環における合同関係は２つの演算に関するものです。
この合同関係は演算が同値類に関してwell-definedである（そうなるように定義された）ため商集合に移して考えることが出来ます。
半環合同
半環 \(S\) 上の同値関係 \(\sim\) が半環合同または半環上の合同関係であるとは,
任意の \(a, b, c, d\in S\) に対して \(a\sim b\ ,\ c\sim d\) ならば
- \(a+c\sim b+d\)
- \(ac\sim bd\)
を満たすことをいう.
剰余半環
半環 \(S\) 上の合同関係 \(\sim\) に対して, 商集合 \(S/{\sim}=\{\ [a]\ | \ a\in S\ \}\) 上の和と積を
- \([a]+[b]=[a+b]\)
- \([a]\cdot[b]=[ab]\)
で定めるとこの演算はwell-definedであって, \(S/{\sim}\) は半環をなす.
この \(S/{\sim}\)を \(\sim\) による剰余半環という.
証明
\(S/I\) の和と積がwell-definedであることを示す.
\([a]=[b],[c]=[d]\) つまり \(a\sim b, c\sim d\) とすると
\(a+c\sim b+d, ac\sim bd\) なので \([a+c]=[b+d], [ac]=[bd]\).
よって \([a]+[c]=[b]+[d], [a]\cdot[c]=[b]\cdot[d]\) である.
ゆえに, 和と積がwell-definedである.
また \(S\) で分配律が成り立つことより \[\begin{eqnarray*}
([a]+[b])\cdot[c]&=&[a+b]\cdot[c] \\
&=&[(a+b)c]\\
&=&[ac+bc]\\
&=&[ac]+[bc]\\
&=&[a]\cdot[c]+[b]\cdot[c]
\end{eqnarray*}\] が分かる. \([a]\cdot([b]+[c])=[a]\cdot[b]+[a]\cdot[c]\) も同様.
よって \(S/I\) において分配律が成り立つ.
また, 任意の \(a\in S\) に対して\[
[a]+[0]=[a],\ [a]\cdot[1]=[a],\ [a]\cdot[0]=[0]
\]などより零元は \([0]\), 単位元は \([1]\) である.
以上より, \(S/I\) は半環である.
剰余半環への準同型/自然な準同型(商写像・自然な全射・自然な射影)
半環 \(S\) とその上の合同関係 \(\sim\) に対して,写像 \(\pi\ \colon\ S\to S/{\sim}\) を \(\pi(x)=[x]\) で定めると \(\pi\) は \(S\) から \(S/{\sim}\) への全射準同型写像である.
証明はマグマのものと同様にして、和と積について確かめれば良い.
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