二項関係

ここでは、ある集合上の二項関係を紹介します。より一般的に、二項関係や関係を定義することもできます。

集合 \(A\) 上の二項関係(binary relation) \(R\) とは直積 \(A\times A\) の部分集合 \(R \subset A\times A\) のことをいう.

\((a, b)\in R\) のとき \(aRb\) と書き, \(a\) は \(b\) と \(R\)-関係を持つという.

\(A=\{a, b, c, d\},\ \ R=\{(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, d)\}\)とするとき

\[aRa,\ \ aRb,\ \ aRc,\ \ bRa,\ \ bRd\]

である. \(aRd\) や \(cRa\) ではない.

二項関係に伴って、よく出てくる代表的な概念を紹介します。
※同値関係や順序関係などを考えると出てきます。

\(A\) 上の関係 \(R\) が任意の \(a\in A\) に対して \(aRa\) であるとき, \(R\) は反射的(reflective) であるという.

\(A\) 上の関係 \(R\) が任意の \(a, b\in A\) に対して \[aRb\ \Longrightarrow\ bRa\]であるとき, \(R\) は対称的(symmetric) であるという.

\(A\) 上の関係 \(R\) が任意の \(a, b\in A\) に対して \[aRb\ かつ\ bRa\ \Longrightarrow\ a=b\]であるとき, \(R\) は反対称的(antisymmetric) であるという.

\(A\) 上の関係 \(R\) が任意の \(a, b, c\in A\) に対して \[aRb\ かつ\ bRc\ \Longrightarrow\ aRc\]であるとき, \(R\) は推移的(transitive) であるという