半群がいくつかあるときに、その直積を半群として考える事が出来ます。
構造を知らべるときはよく知っていいるものの直積に分解して考えます。
半群の直積
\(S_1,S_2\) を半群とする.
集合としての直積 \[S_1\times S_2=\left\{\ (s_1,s_2)\ |\ s_1\in S_1,\ s_2\in S_2\ \right\}\] 上に二項演算 \(\cdot\) を \((s_1,s_2),\ (s_1^\prime,s_2^\prime)\in S_1\times S_2\) に対して \[
(s_1,s_2)\cdot (s_1^\prime,s_2^\prime)=(s_1s_1^\prime,s_2s_2^\prime)
\] で定義すると \(S_1\times S_2\) は半群となる.
この半群を \(S_1,S_2\) の直積(direct product)という.
自然数全体 \(\mathbf{N}\) は通常の加法で半群です。
\(\mathbf{N}\times\mathbf{N}\) の元は \((n,m)\ (n,m\in \mathbf{N})\) の形をしていて,
直積上の演算は
- \((1,2)+(4,8)=(5,10)\)
- \((1,2)+(0,0)=(1,2)\)
のような感じです。
また、自然数全体 \(\mathbf{N}\) は通常の乗法でも半群ですが、
\(\mathbf{N}\times\mathbf{N}\) を \((\mathbf{N},+)\) と \((\mathbf{N},\cdot\,)\) の直積とみると, 直積上の演算は
- \((1,2)\cdot(4,8)=(1+4,2\cdot8)=(5,16)\)
- \((1,2)\cdot(0,0)=(1+0,2\cdot0)=(1,0)\)
のような感じです。
任意個の半群の直積
半群の族 \(\{S_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\) に対して, その直積 \[
\prod_{\lambda\in\Lambda}S_\lambda=\left\{\ (s_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\ |\ s_\lambda\in S_\lambda\ \right\}
\] 上に二項演算 \(\cdot\) を \((s_\lambda)_{\lambda\in\Lambda},\ (s_\lambda^\prime)_{\lambda\in\Lambda}\in\prod_{\lambda\in\Lambda}S_\lambda\) に対して \[
(s_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\cdot (s_\lambda^\prime)_{\lambda\in\Lambda}=(s_\lambda s_\lambda^\prime)_{\lambda\in\Lambda}
\] で定義すると \(\prod_{\lambda\in\Lambda}S_\lambda\) は半群となる.
ただし \(\Lambda=\emptyset\) の場合, 空積 \(\prod_{\lambda\in\Lambda}S_\lambda\) は１元集合となるので零半群 \(\{0\}\) とみなす.
\(S\) をある半群として, 任意の \(\lambda\in\Lambda\) に対して \(S_\lambda=S\) の場合は \(\prod_{\lambda\in\Lambda}S_\lambda\) を \(S^\Lambda\) と書くこともある.
特に \(|\Lambda|=n\) のとき \(S^\Lambda\) を \(S^n\) と書く.
特に \(\Lambda=\{1, 2, 3,\ldots,n\}\) のとき \[\prod_{i=1}^nS_i=S_1\times S_2\times\cdots\times S_n\] のように書いたりします。
コメント