半群のイデアルに対して、合同関係を定めることが出来て、それによる剰余を考えられます。
これは群と正規部分群の関係に類似していますが、相違点もあります。
Rees合同
半群 \(S\) のイデアル \(I\) に対して 関係 \(\rho_I\) を\[x\rho_I y \ \Longleftrightarrow\ x=y\ \ {\rm or}\ \ x, y\in I\] で定めると \(\rho_I\) は合同関係となる. この \(\rho_I\) を \(S\) の \(I\) によるRees合同(Rees congruence)という.
Rees剰余半群
半群 \(S\) のイデアル \(I\) によるRees合同 \(\rho_I\) とするとき, 剰余半群 \(S/\rho_I\) を \(S\) の \(I\) によるRees剰余半群(Reesfactor semigroup/Rees quotient semigroup)という.
\(S/\rho_I\) は \(I\) によって決定されるため \(S/I\) とも書く.
このとき自然な準同型 \(S\to S/I\) をRees準同型(Rees homomorphism)という.
例
自然数の集合を \(\mathbf{N}=\{\ 0, 1, 2, 3, \ldots \ \}\) として通常の積を考えると \(\mathbf{N}\) は半群となる.
偶数の集合を \(I=\{\ 0, 2, 4, 6, \ldots \ \}\) と置くと \(I\) は \(\mathbf{N}\) のイデアルとなる.
\(S/I=\left\{\overline{n}\ |\ n\in\mathbf{N}\right\}\) であるが, \(\overline{0}=\{\ 0, 2, 4, \ldots \ \}\) であり, 奇数 \(n\) に対して \(\overline{n}=\{n\}\) であることより, \(S/I=\left\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \ldots \right\}\) となる.
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