双曲線関数【倍角、３倍角、半角】

双曲線関数の変数は角度に対応している訳ではないが、三角関数との対比として倍角、３倍角、半角と呼ぶことにする.

双曲線関数の倍角の公式

\[ \begin{eqnarray*}\sinh 2x&=&2\sinh x\cosh x \\ \cosh2x&=&\cosh^2x+\sinh^2x = 1+2\sinh^2 x = 2\cosh^2x-1 \\ \tanh 2x &=& \frac{2\tanh x}{1+\tanh^2x} \end{eqnarray*}\]

双曲線関数の3倍角の公式

\[ \begin{eqnarray*}\sinh3x&=&3\sinh x+4\sinh^3 x \\ \cosh3x&=&4\cosh^3x-3\cosh x\\ \tanh 3x &=& \frac{3\tanh x+\tanh^3x}{1+3\tanh^2x} \end{eqnarray*}\]

双曲線関数の半角の公式

\[ \begin{eqnarray*}\sinh^2 \frac{x}{2}&=&\frac{\cosh x-1}{2}\\ \cosh^2 \frac{x}{2}&=&\frac{\cosh x+1}{2}\\ \tanh^2 \frac{x}{2}&=&\frac{\cosh x-1}{\cosh x+1}\end{eqnarray*}\]

倍角、３倍角は加法定理を使うと導ける.半角は倍角の公式から導ける.