集合論 写像
数学を学ぶ上で必要不可欠な概念, 写像について紹介します。写像を使って集合と集合を結び付けて、関係性などを調べます。
2021-04
集合論 
集合論 商集合
集合を同値関係を用いて分割することが出来ます。数学を学んでいく上での必須事項です。
集合論 同値類
集合上の同値関係を用いて集合を分割することが出来ます。ある性質を持つ元をまとめて考える事で、対象が調べやすくなります。
半群 Rees剰余半群
半群のイデアルに対して、合同関係を定めることが出来て、それによる剰余を考えられます。これは群と正規部分群の関係に類似していますが、相違点もあります。
半群 半群合同と剰余半群
半群の基本概念である半群合同と剰余半群を紹介します。定義はマグマ合同・剰余マグマと同様で、マグマを半群に置き換えたものです。
数学 半群準同型
二つの半群の演算を保つ写像を用いて、半群の構造や性質を調べられます。演算を保つ写像のことを準同型写像といい、代数的構造を考える際にはよく出てきます。
数学 マグマの定義と基本概念
もっとも素朴な代数的構造で広い概念であるマグマについて紹介します。集合 Mに対して, その上の二項演算 \muが定められているとき, 組 (M, \mu) をマグマ(magma)という.
集合論 Well-defined
集合 \(X\) 上の同値関係 \(\sim\) と, 集合 \(Y\) への写像 \(f\ \colon\ X \to Y\) があるときに,\(f\) の性質を受け継いだ, 商集合 \(X/{\sim}\) から \(Y\) への写像 \(\tilde{f}\ \colon\ X/{\sim} \to Y\) を考えると良いことがある場合があります。この写像を定義できるかを判定する基準としてwell-definedという概念があります。日本語的には「矛盾なく定義される」とか言います。
数学 合同関係
代数的構造を理解する方法として、商集合を考える事が良くあります。この商集合も元の代数的構造と同じように演算を考えるのが自然ですが、商集合上の演算、つまり同値類の演算を元の演算から矛盾なく定義するため(well-defined)に必要となるのが合同関係です。
半群 部分半群とイデアル
半群を考えていく上で必要不可欠な部分半群とイデアルについて紹介します。