線型代数

アダマール積について紹介します。 行列の積とは異なり、行列の和と同じように成分毎の積を取る演算です。 アダマール積を定義するには成分の集合上に積が定義されていれば十分ですが、ここでは半環上の行列の行列に対して定義します。 イメージを掴むなら実数上の行列を考えれば十分です。

行列の積について紹介します。 ここでは半環上の行列の行列に対して定義しますが、イメージを掴むなら実数上の行列を考えれば十分です。 行列の積を定義するには成分の集合上に和と積が定義されている必要があります。 行列の和と合わせて考えると分配法則を満たします。

\(S\) を集合, \(m, n\) を自然数とするとき \(a_{ij} \in S\ (i=1,2,\ldots,m, j=1,2,\ldots,n)\) に対して \[ (a_{ij})_{\{1\le i\le m,1\le j\le n\}} = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right) \] を \(m\times n\) 行列(matrix)や \(m\)行\(n\)列行列という. \(m\times n\) を行列のサイズ(size)または型(order)と呼ぶ. サイズが明らかな場合は \((a_{ij})_{\{1\le i\le m,1\le j\le n\}}\) を単純に \((a_{ij})\) と書く.