代表的な代数的構造について紹介します。
空でない集合と、その上の二項演算が定義されている時、それらを合わせて代数的構造と呼びます。代数学とは主に代数的構造を研究する分野である。
二項演算
集合 \(X\) に対して,写像 \(\phi \colon X\times X \rightarrow X\) を集合 \(X\) 上の二項演算という.
\[ \begin{array}{ccc} X \times X &\longrightarrow &X\\ (a, b) &\mapsto &\phi (a, b)\end{array}\]
和や積がこれに該当する.
\(\phi\) が積 “\(\cdot\)” や和 “\(+\)” のときは \(\phi (a, b)\) の様には書かずに \(a\cdot b, \ a + b\ \) と書く方が普通である.
さらに積の場合は \(a\cdot b= ab\) と書くことも多い.
マグマ（magma）の定義
空でない集合 \(M\) 上の二項演算 \(\cdot\) が定義されている時,組 \((M,\, \cdot\ )\) をマグマ(magma)という.
演算が明らかな場合は, 省略して単に \(M\) をマグマと呼ぶ.
半群（semigroup）の定義
空でない集合 \(S\) と,その上の二項演算 \(\cdot\) の組 \((S,\, \cdot\ )\) が半群(semigroup)であるとは,
結合律(associative law),つまり, \(S\) の任意の元 \(a, b, c\) に対して
- \( (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c) \)
を満たすことをいう.
演算が明らかな場合は, 省略して単に \(S\) を半群と呼ぶ.
半群の例
正の整数の集合を \(\mathbf{N}^+=\{1, 2, 3, 4, \ldots \}\) として, \(+\) を通常の加法とするとき,
\((\mathbf{N}^+, +)\) は半群である.
モノイド（monoid）の定義
空でない集合 \(S\) と,その上の二項演算 \(\cdot\) の組 \((S,\, \cdot\ )\) がモノイド(monoid)であるとは,
\((S,\, \cdot\ )\) は半群であって, \(S\) の元 \(e\) で, \(S\) の任意の元 \(a\) に対して
- \( e\cdot a=a\cdot e=a \)
を満たすようなものが存在することをいう.
この \(e\in S\) を \(S\) の単位元(unit element)という.
演算が明らかな場合は, 省略して単に \(M\) をモノイドと呼ぶ.
モノイドの例
自然数の集合を \(\mathbf{N}=\{0, 1, 2, 3, 4, \ldots \}\) として, \(+\) を通常の加法とするとき,
\((\mathbf{N},\, +)\) は \(0\) を単位元とするモノイドである.
また, \(\cdot\) を通常の乗法とするとき,
\((\mathbf{N}^+,\, \cdot\ )\) は \(1\) を単位元とするモノイドである.
群（group）の定義
空でない集合 \(G\) と,その上の二項演算 \(\cdot\) の組 \((G,\, \cdot\ )\) が群(group)であるとは,
\((G,\, \cdot\ )\) はモノイドであって, \(S\) の任意の元 \(a\) に対して
- \( a\cdot x=x\cdot a=e \)
を満たすような \(S\) の元 \(x\) が存在することをいう.
この \(x\) を \(a\) の逆元(inverse element)といい, \(x = a^{-1}\) と表す.
演算が明らかな場合は, 省略して単に \(G\) を群と呼ぶ.
群の例
整数の集合を \(\mathbf{Z}=\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots \}\) として, \(+\) を通常の加法とするとき,
\((\mathbf{Z},\, +)\) は群である.
正の有理数の集合を \(\mathbf{Q}^+\) として, \(\cdot\) を通常の乗法とするとき,
\((\mathbf{Q}^+,\, \cdot\ )\) は群である.
\(0\) 以外の有理数の集合を \(\mathbf{Q}^\times \) として, \(\cdot\) を通常の乗法とするとき,
\((\mathbf{Q}^\times,\, \cdot\ )\) は群である.
条件の整理
上記の定義で出てくる条件を論理式を用いて書くと
（結合律） \((\forall a, b, c \in S)[(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)]\)
（単位元の存在） \((\exists e \in S)(\forall a \in S)[e\cdot a=a\cdot e=a]\)
（逆元の存在） \((\forall a \in G)(\exists x \in G)[a\cdot x=x\cdot a=e]\)
のようになります。
群を知っている人はこの３つの条件を初めに見た人が多いのではないでしょうか。
上で定義した代数的構造は
\[({\bfマグマ}) \supset ({\bf半群}) \supset ({\bfモノイド}) \supset ({\bf群})\]
のような包含関係があります。（マグマの方が広い概念、群の方が狭い概念）
アーベル群（abelian group, 可換群, commutative group）の定義
群 \(G\) がアーベル群(abelian group)であるとは,
交換律(commutative law),つまり \(G\) の任意の元 \(a, b\) に対して
- \( a\cdot b = b\cdot a \])
を満たすことをいう.
アーベル群の例
群の例で挙げた,
\((\mathbf{Z},\, +),\ (\mathbf{Q}^+,\, \cdot\ ),\ (\mathbf{Q}^\times,\, \cdot\ )\)
はすべてアーベル群である.
非可換群の例
詳細な定義は省くが,
一般線型群 \(GL_n(\mathbf{R})\) や \(GL_n(\mathbf{C})\) は \(n\) が \(2\) 以上なら非可換である.
可換な代数的構造
上でアーベル群を取り上げましたが「マグマ」「半群」「モノイド」で交換律が成り立つとき、それぞれ「可換マグマ」「可換半群」「可換モノイド」といいます（アーベル○○とはあまりいいません）。
可換でないことを強調するときは「非可換○○」と呼んだりします。
環（ring）の定義
空でない集合 \(R\) と,その上の２つの二項演算,”加法” \(+\) , “乗法” \(\cdot\) の組 \((R, +,\, \cdot\ )\) が環(ring)であるとは,
- \((R, +)\) はアーベル群である
- \((R,\, \cdot\ )\) はモノイドである(※)
- 分配律
- \((\forall a, b, c \in R)[\ \ (a + b)\cdot c = (a\cdot c) + (b\cdot c)\ \ ]\)
- \((\forall a, b, c \in R)[\ \ a\cdot (b + c) = (a\cdot b) + (a\cdot c)\ \ ]\)
を全て満たすことをいう.
(※)「モノイド」ではなく,「半群」と定義を緩めて考えることもある.詳しくは下の注意を参照.
乗法が可換であるとき,可換環(commutative ring)という.
\((R, +)\) の単位元を \(0\) と書き \(R\) の零元(zero element)といい, \(a \in R\) の \((R, +)\) における逆元を \(-a\) と書く.
\((R,\, \cdot\ )\) の単位元を環 \(R\) の単位元(identity element)といい, \(1\) や \(e\) で表す.
零元は任意の \(a \in R\) に対して \( a\cdot 0 = 0\cdot a = 0\) を満たす.(定義から証明できる)
環の例
\((\mathbf{Z},\, +,\, \cdot\ )\) は \(0\) を零元, \(1\) を単位元とする環である.
\(\mathbf{Z}\) を整数環(有理整数環)という.
環の定義に関する注意
上の環の定義において
- \((R,\, \cdot\ )\) はモノイドである
の部分を
- \((R,\, \cdot\ )\) は半群である
とすることがあります。
「モノイドである」で定義された単位元をもつ環を単位的環や単位環(unital ring, unitary ring)と呼んだりします。
「半群である」の方で定義された環、つまり必ずしも単位元を持つとは限らない環の事を擬環(pseudo-ring)や非単位的環と呼びます。
単位元” i “が無いかもしれないという事で、ringに対してrngと呼ぶこともあります。（圏論でRingやCRingに対してRngが出てきたりします）
擬環の例としては、偶数の全体 \(2\mathbf{Z}\) などがあります。
また、単位元 \(1\) と零元 \(0\) に対して \(1\neq 0\) を要請する場合もあります。
体（field）の定義
空でない集合 \(K\) と,その上の２つの二項演算,”加法” \(+\) , “乗法” \(\cdot\) の組 \((K, +,\,\cdot\ )\) が体(field)であるとは,\((K, +,\,\cdot\ )\)は可換環であって, \(0\) 以外の元が逆元をもつことをいう.
別の言い方をすれば,\((K, +,\,\cdot\ )\)は環であって, \((K\backslash\{0\},\,\cdot\ )\)がアーベル群であることをいう.
体の例
有理数の集合を \(\mathbf{Q}\) , 実数の集合を \(\mathbf{R}\) , 複素数の集合を \(\mathbf{C}\) とするとき,
\((\mathbf{Q},\, +,\, \cdot\ )\) , \((\mathbf{R},\, +,\, \cdot\ )\) , \((\mathbf{C},\, +,\, \cdot\ )\)
は \(0\) を零元, \(1\) を単位元とする環である.
\(\mathbf{Q}\) を有理数体, \(\mathbf{R}\) を実数体, \(\mathbf{C}\) を複素数体という.
体の定義に関する注意
体を定義する際に「乗法の可換性」を通常は仮定します。可換性を仮定しない場合、つまり
\((K, +,\,\cdot\ )\)は環であって, \((K\backslash\{0\},\,\cdot\ )\)が群であるとき、
\(K\) を斜体(skew field)や可除環(division ring)といいます。
これに対して上で定義した体を可換体(commutative field)と言ったりします。
体が出てきて、特に斜体や可除環と言われていない場合は可換体と思っていて大丈夫でしょう。
環上の加群（module）の定義
\(R\) を環とするとき,
アーベル群 \((M, +)\) とスカラー乗法とよばれる写像 \(R\times M \rightarrow M ; (r, x) \mapsto r\cdot x\) の組が
左\(R\)-加群(left \(R\)-module)であるとは,任意の \(r, s \in R,\ x, y \in M\) に対して
\(({\rm i})\ \ r\cdot (s\cdot x) = (rs)\cdot x\)
\(({\rm ii})\ \ (r+s)\cdot x=r\cdot x + s\cdot x\)
\(({\rm iii})\ \ r\cdot (x+y)= r\cdot x + r\cdot y\)
\(({\rm iv})\ \ 1 \cdot x = x\)
を全て満たすことをいう.
環の作用の向きを右に( \(M\times R \rightarrow M ; (x, r) \mapsto x\cdot r\) )することによって
右\(R\)-加群(right \(R\)-module)を定義することが出来る.
\(R\) が可換であるとき \( r\cdot x = x\cdot r\) と置けば, 左\(R\)-加群と右\(R\)-加群の概念は一致する.このとき単に \(R\)-加群とよばれる.
加群の例
\(n\)次元の格子点の集合 \(\mathbf{Z}^n = \{ (x_1, x_2, \ldots, x_n) | x_i \in \mathbf{Z} \}\) は和を成分毎の和, スカラー乗法を各成分毎に積を取るものとすると,
\(\mathbf{Z}^n\) は \(\mathbf{Z}\)-加群である.
また,任意のアーベル群は \(\mathbf{Z}\)-加群とみなせる.
ベクトル空間（vector space）/線型空間（linear space）の定義
アーベル群 \(V\) が体\(K\)上のベクトル空間(vector space)または線型空間(linear space)であるとは, \(V\) が \(K\)-加群であるこという.
ベクトル空間の例
\(\mathbf{Q}^n, \ \mathbf{R}^n, \ \mathbf{C}^n\) はそれぞれ \(\mathbf{Q}, \ \mathbf{R}, \ \mathbf{C}\) 上のベクトル空間である.
細かいことをいうと,
\(\mathbf{R}^n, \ \mathbf{C}^n\) は \(\mathbf{Q}\) 上のベクトル空間でもあり,
\(\mathbf{C}^n\) は \(\mathbf{R}\) 上のベクトル空間でもある.
ベクトル空間を知っている人は、条件がいくつもある定義を見てきたかもしれませんが、代数的構造をいろいろ知っていると、定義は１文で済みます。
上の定義から分かるように、加群はベクトル空間の一般化にあたる概念です。
多元環（algebra, 代数）の定義
\(R\)-加群\(A\) が \(R\) 上の多元環(\(R\)-代数, \(R\)-algebra)であるとは,
\(A\) の乗法 \([\bullet,\bullet] \colon A \times A \rightarrow A\) が定義されていて,\(R\)-双線型であること,
つまり任意の \(a, b \in R, \ x, y, z \in A\) に対して
- \([ax+by,z] = a[x, z]+b[y,z]\)
- \([z, ax+by] = a[z, x]+b[z, y]\)
を満たすことをいう.
これに加えてさらに結合性
- \(a[x, y] = [ax, y] = [x, ay]\)
を満たすものを結合\(R\)-代数という.
多元環の例
複素数体 \(\mathbf{C}\) や四元数全体 \(\mathbf{H}\) は\(\mathbf{R}\)-代数(結合\(\mathbf{R}\)-代数)である.
半束（semilattice）の定義
空でない集合 \(S\) と,その上の二項演算 \(\wedge\) の組 \((L, \wedge)\) が半束(semilattice)であるとは,
\((L, \wedge)\) は可換半群であって,冪等律(idempotent law),つまり任意の \(a \in S\) に対して
- \( a\wedge a=a\)
を満たすことをいう.
束（lattice）の定義
空でない集合 \(L\) と,その上の２つの二項演算\(\vee,\ \wedge\) の組 \((L, \vee, \wedge)\) が束(lattice)であるとは,
\((L, \vee)\) と \((L, \wedge)\) は半束であって,吸収律(absorption law),つまり任意の \(a, b \in L\) に対して
- \( (a\vee b)\wedge a=a\)
- \( (a\wedge b)\vee a=a\)
を満たすことをいう.
半束、束の例
集合 \(S\) に対して, その冪集合全体を\(P(S)\) とし,
集合の和集合を取る演算を \(\cup\) ,集合の積集合を取る演算を \(\cap\) とする.
\((P(S), \cup),\ (P(S), \cap)\) は半束をなし, \((P(S), \cup, \cap)\) は束となる.
以上、主な代数的構造と簡単な例を紹介しました。
細かな種類や性質、具体例はそれぞれの構造をテーマとした記事で書きたいと思います。
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