合成写像

数学を学ぶ際に必ず出現する概念である写像の合成について簡単に紹介します。

2つの写像 \(f\ \colon A \rightarrow B,\ g\ \colon B \rightarrow C \) があるとき, 任意の \(a\in A\) に対して \((g\circ f)(a) = g(f(a))\) と定義すると \(g\circ f\) は\(A\) から \(C\) への写像となる. この \(g\circ f\ \colon A \rightarrow C \) を \(f\) と \(g\) の合成写像という. \(g\circ f\) を単に \(gf\) と書くこともある.

例

\(f\ \colon\ \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}^2,\ g\ \colon\ \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R} \) をそれぞれ \(f(x, y)=(x^2-y^2, 2xy),\ g(x,y)=x^2+y^2\) とすると \(f\) と \(g\) の合成は \((g\circ f)(x, y)=(x^2+y^2)^2\) となる.