最小公倍数の性質

最小公倍数の性質について紹介します。

最小公倍数の定義はこちらを参照してください。

最小公倍数の性質

\((a_1, a_2, \ldots, a_n)\in\mathbf{Z}^n\) として, \(S_n\) の \(n\) 次対称群とするとき

\(a_i\mid \mathrm{lcm}(a_1, a_2, \ldots, a_n)\)
任意の \(\sigma\in S_n\) に対して \(\mathrm{lcm}(a_{\sigma(1)}, a_{\sigma(2)}, \ldots, a_{\sigma(n)})=\mathrm{lcm}(a_1, a_2, \ldots, a_n)\).
\(\mathrm{lcm}(\mathrm{lcm}(a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}), a_n)=\mathrm{lcm}(a_1, a_2, \ldots, a_n)\)
\(\mathrm{lcm}(|a_1|, |a_2|, \ldots, |a_n|)=\mathrm{lcm}(a_1, a_2, \ldots, a_n)\)

証明

１. 定義より明らか.

２. \(\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}=\{a_{\sigma(1)}, a_{\sigma(2)}, \ldots, a_{\sigma(n)}\}\) より明らか.

３. \(l=\mathrm{lcm}(a_1, a_2, \ldots, a_n),\ l_0=\mathrm{lcm}(a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}),\ l^\prime=\mathrm{lcm}(l_0, a_n), \) と置くと,
　\(1\leq i\leq n-1\) に対して \(a_i\mid l_0\) であり, \(l_0\mid l^\prime, a_n\mid l^\prime\) なので
　\(1\leq i\leq n\) に対して \(a_i\mid l^\prime\) より \(l\mid l^\prime\).
　また, \(1\leq i\leq n-1\) に対して \(a_i\mid l\) なので \(l_0\mid l\) であり, かつ \(a_n\mid l\) より \(l^\prime\mid l\).
　\(l, l^\prime\) は共に自然数なので \(l^\prime=l\).

４. 整数 \(a, d\) に対して \(d\mid a\ \Longleftrightarrow\ d\mid|a|\) なので良い.