群 グロタンディーク群
半群から、それを”含む”ような群を構成できます。可換半群 \((S, +)\) に対して半群の直積 \(S\times S\) 上の関係 \(\sim\) を \((m_1,n_1), (m_2,n_2)\) に対して\(m_1+n_2+s=m_2+n_1+s\) なる \(s\in S\) が存在するとき \((m_1,n_1)\sim(m_2,n_2)\) と定義する.\(\sim\) は半群合同である.
2022-07
群 
半群 半群の直積
\(S_1,S_2\) を半群とする.集合としての直積 \[S_1\times S_2=\left\{\ (s_1,s_2)\ |\ s_1\in S_1,\ s_2\in S_2\ \right\}\] 上に二項演算 \(\cdot\) を \((s_1,s_2),\ (s_1^\prime,s_2^\prime)\in S_1\times S_2\) に対して \[(s_1,s_2)\cdot (s_1^\prime,s_2^\prime)=(s_1s_1^\prime,s_2s_2^\prime)\] で定義すると \(S_1\times S_2\) は半群となる.この半群を \(S_1,S_2\) の直積(direct product)という.
集合論 整数の順序
自然数に順序が定義されたように、整数にも順序を定義できます。自然数の順序を用いて、整数に順序を定義します。ここで定義する順序は通常の整数の大小関係に一致します。
集合論 順序環
環の構造と順序を同時に考える順序環を紹介します。
集合論 順序群
群に順序が入っている構造である順序群を紹介します。付値論などでよく出てきます。
初等整数論 整数の定義
自然数を使って整数を定義します。整数の演算は自然数の演算を用いて自然に定義されます。
半環 自然数の演算
自然数に帰納的定義を用いて和と積を定義することが出来ます。
順序 自然数の順序
自然数に加法と乗法を定義しましたが、加法を用いて順序を定義することが出来ます。自然数 \(m, n\in\mathbf{N}\) 対して, 関係 \(\leq\) をある自然数 \(l\in\mathbf{N}\) が存在して \(n=m+l\) となるとき \[m\leq n\] と定義する.
半環 自然数の定義と構成
自然数とはどんなものかは直感的に理解できると思いますが、定義はどんなものかを考えると難しいと思います。ここでは、有名なペアノの公理を用いて自然数を定義・構成しようと思います。自然数を定義できると、整数→有理数→実数→複素数→...などのように「数」を広げていくことが出来ます。
集合論 帰納的集合
公理的集合論や自然数を定義するときに重要である帰納的集合について紹介します。集合 \(X\) が帰納的(inductive)であるとは・\(\emptyset\in X\)・\(x\in X\) ならば \(x\cup\{x\}\in X\)が成り立つことをいう.