正五角形の対角線の長さ

正五角形に対して、図のような三角形を考える。求める対角線の長さを \(x\) と置くと、三角形の相似関係(頂角が\(36^\circ\)の二等辺三角形が2つある)より、

\[x\ \colon\ a\ =\ a\ \colon\ (x -a)\]

なので

\[x^2 – ax – a^2 =0\]

\( x\ge 0\) かつ \( a\ge 0\) に注意して

\[x= \frac{1+\sqrt{5}}{2}a \]