モリーの法則を一般化することが出来る.
\[\prod_{i=0}^n \cos(2^i\theta) = \frac{\sin(2^{n+1}\theta)}{2^{n+1}\sin\theta}\]
証明
倍角の公式より
\[\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\]
なので \(\cos\theta\) について解くと
\[\cos\theta=\frac{\sin2\theta}{2\sin\theta}\]
これより
\[\cos2\theta=\frac{\sin4\theta}{2\sin2\theta} \\ \cos4\theta=\frac{\sin8\theta}{2\sin4\theta}\\
\vdots \\
\cos2^n\theta=\frac{\sin(2^{n+1}\theta)}{2\sin(2^n\theta)}\]
ゆえに
\[\prod_{i=0}^n \cos(2^i\theta) = \frac{\sin2\theta}{2\sin\theta}\frac{\sin4\theta}{2\sin2\theta}\cdots\frac{\sin(2^{n+1}\theta)}{2\sin(2^n\theta)}= \frac{\sin(2^{n+1}\theta)}{2^{n+1}\sin\theta}\]
\(\displaystyle n=2, \theta=\frac{\pi}{9}\) とすればモリーの法則を導くことが出来る.
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