半環 整数の定義
自然数を使って整数を定義します。
整数の演算は自然数の演算を用いて自然に定義されます。
零元
半環 
半環 半環の0-添加
環 \(S\) に対して, \(S\) の零元を \(0_S\) とする.
\(S\) に新たな元 \(0\) を加えた集合 \(S^0=S\cup\{0\}\) を考える.
\(S^0\) 上の演算 \(+,\ \cdot\) を \(a,b\in S\) に対しては \(S\) 上の演算 \(a+b, ab\) で定義し,
\(a\in S^0\) に対しては\[a+0=0+a=a\\a\cdot0=0\cdot a=0\] で新しい元 \(0\) の演算と定義すると \(S^0\) は半環となる.
この \(S^0\) を \(S\) の0-添加という.
半環 部分半環
半環 \(S\) の空ではない部分集合 \(T\) が, \(S\) の二項演算で半環になるとき, \(T\) を \(S\) の部分半環(subsemiring)という. また, \(S\) の零元からなる集合 \(\{0\}\) と \(S\) 自身は \(S\) の部分半環であり, これらを自明な部分半環(trivial subsemiring)と呼ぶ.
環 環の定義
空でない集合Rとその上の２つの二項演算、和と積の組が環(ring)であるとは,和に関してアーベル群、積に関してモノイド、和と積で分配律が成立することを言います。積が可換であるとき可換環と呼びます。
集合論 よく使う文字や記号の説明
数学系の記事で用いる文字や記号の説明をします。よく使う集合や写像・値などは特定の文字や記号で書かれることが多いです。その方が共通認識で話を進めることができ、便利です。しかし、同じ文字や記号・記法だったとしても、数学書や論文毎に少し違った定義になっていることあるので、定義を確かめておく必要があります。
半環 半環の定義
空でない集合 Sと,その上の二つの二項演算、和と積の組 (S, +, \cdot)が半環(semiring)であるとは「和について可換モノイド」「積についてモノイド」「和と積で分配法則が成り立つ」「0倍すると0になる」条件を満たすことを言います。
数学 1-添加と0-添加
半群に単位元や零元を付け加えることが出来ます。このことは任意の半群がモノイドや零元付き半群に埋め込み可能であることを意味しています。
数学 ある性質を持つ元【マグマ・半群】
マグマや半群などの代数的構造において、ある性質を持つ元には名前がついています。その中でも代表的なものを紹介します。