群 部分群の指数とラグランジュの定理
\(G\) を群, \(H\) をその部分群とする.
\(G/H\) の基数(要素の数), つまり左剰余類の数を \(H\) の \(G\) における指数(index)といい, \((G:H),\ |G:H|,\ [G:H]\) などと表す.
部分群
群 群 像と核
２つの群 \(G,\ G^\prime\) と, その間の準同型写像 \(f\ \colon\ G \to G^\prime\) に対して, \(e^\prime\) を \(G^\prime\) の単位元とするとき\[\mathrm{Ker}\ f=\{x\in G\ |\ f(x)=e^\prime\}\\ \mathrm{Im}\ f=\{f(x)\in G^\prime\ |\ x\in G\}\]とおく.\(\mathrm{Ker}\ f\) を \(f\) の核(kernel), \(\mathrm{Im}\ f\) を \(f\) の像(image)という.
群 正規部分群
群 Gの部分群Nが\(\forall x\in G\ \ xNx^{-1}\subset N\)を満たすとき, NをGの正規部分群(normal subgroup)といい \(N\triangleleft G\) や \(G\triangleright N\) と書く.
群 部分群
群 Gの空ではない部分集合Hが, Gの二項演算で群になるとき, HをGの部分群(subgroup)という.また, Gの単位元からなる集合{e}とG自身はGの部分群であり, これらを自明な部分群(trivial subgroup)と呼ぶ.