半群 半群の準同型定理
群の準同型定理(第一同型定理)と同様に半群の準同型でも準同型定理が成立します。
ただし、一般に半群には単位元が存在しないため核(kernel)の定義が異なります。
像
半群 
群 群の準同型定理(第三同型定理)
第一同型定理、第二同型定理は別の記事で紹介しています。 準同型定理(第三同型定理) 群 \(G\) に対して, \(N, M\) は正規部分群であって \(N\supset M\) を満たすものとする.このとき \(N/M\) は \(G/...
群 群の準同型定理(第二同型定理)
第一同型定理、第三同型定理は別の記事で紹介しています。 準同型定理(第二同型定理) 群 \(G\) に対して, \(N\) を正規部分群, \(H\) を部分群とするとき, \(HN=NH\) は \(G\) の部分群\(N\) は \(H...
群 群の準同型定理(第一同型定理)
２つの群 \(G,\ G^\prime\) に対して, その間の準同型写像 \(f\ \colon\ G \to G\) は, 自然な同型写像\varphi\ :\ G/\mathrm{Ker}\,f\quad&\longrightarrow&\quad\mathrm{Im}\,f\\
x\mathrm{Ker}\,f\quad&\longmapsto&\quad f(x) を引き起こす. つまり, \(G/\mathrm{Ker}\,f\cong \mathrm{Im}\,f\) である.
群 像と核
２つの群 \(G,\ G^\prime\) と, その間の準同型写像 \(f\ \colon\ G \to G^\prime\) に対して, \(e^\prime\) を \(G^\prime\) の単位元とするとき\[\mathrm{Ker}\ f=\{x\in G\ |\ f(x)=e^\prime\}\\ \mathrm{Im}\ f=\{f(x)\in G^\prime\ |\ x\in G\}\]とおく.\(\mathrm{Ker}\ f\) を \(f\) の核(kernel), \(\mathrm{Im}\ f\) を \(f\) の像(image)という.
集合論 写像
数学を学ぶ上で必要不可欠な概念, 写像について紹介します。写像を使って集合と集合を結び付けて、関係性などを調べます。