環 局所化
\(R\) を可換環, \(S\) を \(R\) の積閉集合とする.\((a,s), (b,t) \in R\times S\) に対して, ある \(u\in S\) が存在して \(u(at-bs)=0\) となるとき
\((a,s)\sim (b,t)\) と定義すると \(\sim\) は \(R\times S\) 上の同値関係となる.
環 環 剰余環
環 \(R\) とその両側イデアル \(I\) に対して, \(R\) 上の関係 \(\sim_I\) を \[a\sim_I b \Longleftrightarrow a-b\in I\] で定義すると \(\sim_I\) は同値関係となる. 同値類の集合 \(R/\sim_I\) を \(R/I\) と書く.
環 イデアル
環Rの部分集合Iが \(a,b\in I\ \Longrightarrow\ -a+b\in I\) \(a\in I,\ x\in R\ \Longrightarrow\ xa\in I\) を満たすとき,IをRの左イデアル(left ideal)という.
環 環の準同型写像
２つの環 R,R^\primeに対して, 写像 f\colon R \to R^\primeが任意のx, y\in Rと単位元 1\in R, 1^\prime\in R^\primeに対して f(xy)=f(x)f(y), f(x+y)=f(x)+f(y), f(1)=1^\primeを満たすとき, fをR,\ R^\prime間の環準同型写像(ring homomorphism)または単に準同型写像(homomorphism)という.
環 部分環
群Rの空ではない部分集合Sが, Rの二項演算で環になるとき, SをRの部分環(subring)という.また,Rの零元からなる集合{0}とR自身はRの部分環であり, これらを自明な部分環(trivial subring)と呼ぶ.
環 環の定義
空でない集合Rとその上の２つの二項演算、和と積の組が環(ring)であるとは,和に関してアーベル群、積に関してモノイド、和と積で分配律が成立することを言います。積が可換であるとき可換環と呼びます。
群 群の準同型定理(第三同型定理)
第一同型定理、第二同型定理は別の記事で紹介しています。 準同型定理(第三同型定理) 群 \(G\) に対して, \(N, M\) は正規部分群であって \(N\supset M\) を満たすものとする.このとき \(N/M\) は \(G/...
群 群の準同型定理(第二同型定理)
第一同型定理、第三同型定理は別の記事で紹介しています。 準同型定理(第二同型定理) 群 \(G\) に対して, \(N\) を正規部分群, \(H\) を部分群とするとき, \(HN=NH\) は \(G\) の部分群\(N\) は \(H...
不等式 ヘルダー平均の性質
\(-\infty\leq p\leq q\leq \infty\) を満たす \(p, q\) に対して \[M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)\leq M_q(x_1,x_2, \ldots,x_n)\] また \(p<q\) のとき, \[M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)=M_q(x_1,x_2, \ldots,x_n)\Longleftrightarrow x_1=x_2=\cdots=x_n\]
不等式 ヘルダー平均
pを0ではない実数とする.
n個の正の実数 \(x_1,x_2, \ldots,x_n\) に対して, 指数 \(p\) のヘルダー平均(Hölder mean)を次の式で定義する:\[M_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^p\right)^\frac{1}{p}\]