集合論 全単射と逆写像
集合を比べたり、構造を調べたりする際に大活躍する全単射と逆写像を紹介します。
2021-05-03
集合論 集合論 全射と単射
写像の基本概念として全射と単射があります。これらを利用して、集合の”大きさ”を比べたり、構造を比べたり、様々な用途があります。
集合論 合成写像
2つの写像 \(f\ \colon A \rightarrow B,\ g\ \colon B \rightarrow C \) があるとき, 任意の \(a\in A\) に対して \((g\circ f)(a) = g(f(a))\) と定義すると \(g\circ f\) は\(A\) から \(C\) への写像となる. この \(g\circ f\ \colon A \rightarrow C \) を \(f\) と \(g\) の合成写像という. \(g\circ f\) を単に \(gf\) と書くこともある.
集合論 恒等写像
恒等写像(identity mapping, identity function)
空でない集合 \(S\) に対して, 写像 \({\rm id}_S\ \colon\ S\rightarrow S\) を \[{\rm id}_S(x)=x\] で定義する. \({\rm id}_S\) を \(S\) 上の恒等写像という.
\(I_S, \mathbf{1}_S\) と書くこともある. 混同しない場合は単に \({\rm id}, I, \mathbf{1}\) と書く.