semigroup

\(S_1,S_2\) を半群とする. 集合としての直積 \[S_1\times S_2=\left\{\ (s_1,s_2)\ |\ s_1\in S_1,\ s_2\in S_2\ \right\}\] 上に二項演算 \(\cdot\) を \((s_1,s_2),\ (s_1^\prime,s_2^\prime)\in S_1\times S_2\) に対して \[ (s_1,s_2)\cdot (s_1^\prime,s_2^\prime)=(s_1s_1^\prime,s_2s_2^\prime) \] で定義すると \(S_1\times S_2\) は半群となる. この半群を \(S_1,S_2\) の直積(direct product)という.

半群の基本概念である半群合同と剰余半群を紹介します。定義はマグマ合同・剰余マグマと同様で、マグマを半群に置き換えたものです。

半群を考えていく上で必要不可欠な部分半群とイデアルについて紹介します。