0-添加

環 \(S\) に対して, \(S\) の零元を \(0_S\) とする. \(S\) に新たな元 \(0\) を加えた集合 \(S^0=S\cup\{0\}\) を考える. \(S^0\) 上の演算 \(+,\ \cdot\) を \(a,b\in S\) に対しては \(S\) 上の演算 \(a+b, ab\) で定義し, \(a\in S^0\) に対しては\[a+0=0+a=a\\a\cdot0=0\cdot a=0\] で新しい元 \(0\) の演算と定義すると \(S^0\) は半環となる. この \(S^0\) を \(S\) の0-添加という.