素イデアル

可換環 \(R\) のイデアル \(I\) が, \(I\neq S\) かつ,イデアル \(J\) に対して \[I\subset J\subset R\Longrightarrow J=I\ \ {\rm or}\ \ J=R\] を満たすとき, \(I\) を \(R\) の極大イデアル(maximal ideal)という.

可換環 \(R\) のイデアル \(I\) が, \(I\neq S\) かつ \[a,b\in R,\ ab\in I\Longrightarrow a\in I\ \ {\rm or}\ \ b\in I\] を満たすとき, \(I\) を \(R\) の素イデアル(prime ideal)という.

半群にもイデアルという概念がありますが、環のイデアルと同じように素イデアルを考えることがあります。