環 商体
\(R\) を可換な整域とする. \(S=R\,\backslash\{0\}\) とすると \(S\) は積閉集合である.
この \(S\) による局所化 \(S^{-1}R\) は \(R\) を含む最小の体となり,\(R\) の商体や分数体と呼ばれる.
また, \(\mathrm{Q}(R), \mathrm{Quot}(R),\mathrm{Frac}(R)\) のように書いたりする.
積閉集合
環 
半環 半環の局所化
\(S\) を可換半環, \(T\) を \(S\) の積閉集合とする.
\((a,s), (b,t) \in S\times T\) に対して, ある \(u\in T\) が存在して \(uat=ubs\) となるとき
\((a,s)\sim (b,t)\) と定義すると \(\sim\) は \(S\times T\) 上の同値関係となる.
環 局所化
\(R\) を可換環, \(S\) を \(R\) の積閉集合とする.\((a,s), (b,t) \in R\times S\) に対して, ある \(u\in S\) が存在して \(u(at-bs)=0\) となるとき
\((a,s)\sim (b,t)\) と定義すると \(\sim\) は \(R\times S\) 上の同値関係となる.