半環 半環合同と剰余半環
半環における合同関係は２つの演算に関するものです。
この合同関係は演算が同値類に関してwell-definedである（そうなるように定義された）ため商集合に移して考えることが出来ます。
準同型
半環 
半群 半群の準同型定理
群の準同型定理(第一同型定理)と同様に半群の準同型でも準同型定理が成立します。
ただし、一般に半群には単位元が存在しないため核(kernel)の定義が異なります。
群 グロタンディーク群
半群から、それを”含む”ような群を構成できます。
可換半群 \((S, +)\) に対して半群の直積 \(S\times S\) 上の関係 \(\sim\) を \((m_1,n_1), (m_2,n_2)\) に対して
\(m_1+n_2+s=m_2+n_1+s\) なる \(s\in S\) が存在するとき \((m_1,n_1)\sim(m_2,n_2)\) と定義する.
\(\sim\) は半群合同である.
群 群の準同型定理(第三同型定理)
第一同型定理、第二同型定理は別の記事で紹介しています。 準同型定理(第三同型定理) 群 \(G\) に対して, \(N, M\) は正規部分群であって \(N\supset M\) を満たすものとする.このとき \(N/M\) は \(G/...
群 群の準同型定理(第二同型定理)
第一同型定理、第三同型定理は別の記事で紹介しています。 準同型定理(第二同型定理) 群 \(G\) に対して, \(N\) を正規部分群, \(H\) を部分群とするとき, \(HN=NH\) は \(G\) の部分群\(N\) は \(H...
群 群の準同型定理(第一同型定理)
２つの群 \(G,\ G^\prime\) に対して, その間の準同型写像 \(f\ \colon\ G \to G\) は, 自然な同型写像\varphi\ :\ G/\mathrm{Ker}\,f\quad&\longrightarrow&\quad\mathrm{Im}\,f\\
x\mathrm{Ker}\,f\quad&\longmapsto&\quad f(x) を引き起こす. つまり, \(G/\mathrm{Ker}\,f\cong \mathrm{Im}\,f\) である.
群 像と核
２つの群 \(G,\ G^\prime\) と, その間の準同型写像 \(f\ \colon\ G \to G^\prime\) に対して, \(e^\prime\) を \(G^\prime\) の単位元とするとき\[\mathrm{Ker}\ f=\{x\in G\ |\ f(x)=e^\prime\}\\ \mathrm{Im}\ f=\{f(x)\in G^\prime\ |\ x\in G\}\]とおく.\(\mathrm{Ker}\ f\) を \(f\) の核(kernel), \(\mathrm{Im}\ f\) を \(f\) の像(image)という.
群 群の準同型写像
２つの群 G,G^\prime に対して, その間の写像が準同型写像(homomorphism)であるとは, 積を保つ写像であることを言う. その写像が全単射であるとき, GとG^\prime は同型であるという.
半環 半環準同型
２つの半環の間の写像が半環準同型(semiring homomorphism)であるとは、その写像が和と積それぞれについてモノイド準同型であることをいう。特に全単射であるとき半環同型(semiring isomorphism)という。