初等整数論 除法の原理
自然数や整数の基本的な性質である除法の原理を紹介します。除法の原理整数 \(a,b\) に対して \(b\neq0\) ならば \ となる整数 \(q,r\) が一意的に存在する.証明まず自然数\(a,b\) に対して \(b\neq0\)...
自然数
初等整数論 初等整数論 整数の定義
自然数を使って整数を定義します。整数の演算は自然数の演算を用いて自然に定義されます。
半環 自然数の演算
自然数に帰納的定義を用いて和と積を定義することが出来ます。
順序 自然数の順序
自然数に加法と乗法を定義しましたが、加法を用いて順序を定義することが出来ます。自然数 \(m, n\in\mathbf{N}\) 対して, 関係 \(\leq\) をある自然数 \(l\in\mathbf{N}\) が存在して \(n=m+l\) となるとき \[m\leq n\] と定義する.
半環 自然数の定義と構成
自然数とはどんなものかは直感的に理解できると思いますが、定義はどんなものかを考えると難しいと思います。ここでは、有名なペアノの公理を用いて自然数を定義・構成しようと思います。自然数を定義できると、整数→有理数→実数→複素数→...などのように「数」を広げていくことが出来ます。
集合論 帰納的集合
公理的集合論や自然数を定義するときに重要である帰納的集合について紹介します。集合 \(X\) が帰納的(inductive)であるとは・\(\emptyset\in X\)・\(x\in X\) ならば \(x\cup\{x\}\in X\)が成り立つことをいう.
初等整数論 素因数分解の一意性（算術の基本定理）
初等整数論において、基本的であり重要な素因数分解の一意性について紹介します。その数がどんなものなのかを素数と積を使った目線で捉えます。
初等整数論 素数
整数の中で、基本的で非常に重要な素数について紹介します。研究の対象としてよく扱われていますが、未だに分かっていない事も多いです。
初等整数論 最大公約数と最小公倍数の関係
最大公約数と最小公倍数の関係を紹介します。２つの整数の最大公約数と最小公倍数には、きれいな関係式があります。
初等整数論 最大公約数の性質
最大公約数の性質について紹介します。