約数

整数の中で、基本的で非常に重要な素数について紹介します。研究の対象としてよく扱われていますが、未だに分かっていない事も多いです。

整数同士の関係を考える上で基本となる互いに素という概念を紹介します。最大公約数や最小公倍数をなどと関連が深いです。整数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) が互いに素(coprime)であるとは\[\mathrm{gcd}(a_1, a_2, \ldots, a_n)=1\] が成り立っていることをいう.

複数の整数とその最大公約数の関係を表すベズーの等式を紹介します。ベズーの等式(Bézout's identity)整数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) に対して \(g=\mathrm{gcd}(a_1, a_2, \ldots, a_n)\) とおくと, \[g=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\] となる整数 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) が存在する.

整数の最小公倍数の定義を紹介します。最小公倍数とは普通、複数の整数の公倍数のうち最小の自然数ことを指しますが、ここではより広い定義で紹介します。

整数の公約数の定義を紹介します。公約数とは複数の整数に共通する約数のことを指します。\(n\) 個の整数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) に対して, 整数 \(d\) が任意の \(1\leq i\leq n\) に対して \(d\mid a_i\) を満たすとき\(d\) を \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) の公約数(common divisor)であるという.

整数の最大公約数の定義を紹介します。最大公約数とは普通、複数の整数の公約数のうち最大の自然数ことを指しますが、ここではより広い定義で紹介します。